2020高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习

2019年

【2019最新】精选高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第2讲不等

式问题练习

一、选择题

1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( ) A.b＜a＜c C.b＜c＜a

B.a＜b＜c D.c＜a＜b

解析 a＝2＝，b＝3＝，c＝25＝，所以b＜a＜c. 答案 A

2.(2016·杭州模拟)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是( ) A.[0，1] C.[－1，1]

B.[－1，0] D.[－1，0]

解析 f(－a)＋f(a)≤2f(1)?或 即或???a＜0，??a2－2a－3≤0，

解得0≤a≤1，或－1≤a＜0.故－1≤a≤1. 答案 C

3.(2016·浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( ) A.(a－1)(b－1)＜0 C.(b－1)(b－a)＜0

B.(a－1)(a－b)＞0 D.(b－1)(b－a)＞0

解析 由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得： 当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，

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代入验证只有D满足题意. 答案 D

4.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为( ) A.[2，＋∞) C.(－2，＋∞)

B.(－∞，2] D.(－∞，－2)

解析 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1， 因为x＜0，所以m＞＝2x＋. 而2x＋＝－≤ －2＝－2.

当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号， 所以m＞－2. 答案 C

5.(2016·珠海模拟)若x，y满足不等式组则的最小值是( ) A. C.

B. D.1

解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，

x2＋y2表示原点(0，0)到此区域内的点

P(x，y)的距离. 的距离.

显然该距离的最小值为原点到直线x＋2y－2＝0故最小值为＝. 答案 B 二、填空题

6.已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________.

解析 当x＞0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由≥1可得x≤0， ∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞).

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答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)

7.设目标函数z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为________.

解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影x＋y＝0，显然当直线过点A(k，k)时，目标函得最大值，且最大值为k＋k＝12，则k＝6，直标函数z＝x＋y取得最小值，点B为直线x＋2y交点，

即B(－12，6)，所以zmin＝－12＋6＝－6. 答案 －6

8.(2016·大同模拟)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________.

解析 记t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m＜tmin. 因为＋＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋.

而x＞0，y＞0，所以＋≥2＝4(当且仅当＝，即x＝2y时取等号). 所以t＝4＋＋≥4＋4＝8，即tmin＝8.

故m2＋2m＜8，即(m－2)(m＋4)＜0.解得－4＜m＜2. 答案 (－4，2) 三、解答题

9.已知函数f(x)＝.

(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值； (2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围. 解 (1)f(x)＞k?kx2－2x＋6k＜0.

所示，平移直线数z＝x＋y取线过点B时目＝0与y＝6的

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由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3， －2.

由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.

(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号.由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是. 10.(1)解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1＞0； (2)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.

解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1). 当m2－m－1＞0，即m＞或m＜时，由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的两根是m±，所以原不等式的解集是{x|x＜m－，或x＞m＋}；

当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}； 当Δ＜0，即＜m＜时，不等式的解集为R.

综上，当m＞或m＜时，不等式的解集为{x|x＜m－，或x＞m＋}；当m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；当＜m＜时，不等式的解集为R. (2)原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.

①当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是?；当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.

②当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}.

③当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)＞0，由于＜2，故原不等式的解集是.

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综上，当a＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a＜时，不等式解集为；当a＝时，不等式解集为?；当a＞时，不等式解集为，当a＜0时，不等式解集为∪(2，＋∞). 11.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x). (1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；

(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值.

(1)证明 易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1，于是c≥1，

且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.

故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.

(2)解 由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝. 令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.

而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是. 因此，当c＞|b|时，M的取值范围为.

当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立. 综上所述，M的最小值为.