第四章 因式分解

第四章 因式分解

4.1因式分解

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1.整式:单项式（数，字母和数与字母相乘）和多项式（几个单项式的和）的统称

2.分式：分母里有字母（

11,2等） xy基础知识点1：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式

★ 恒等变形

★ 分解到不能再分解

例题1.判断哪些是因式分解？哪些不是？

(1) 12ab?3a?4ab ; (2)(x?3)(x?3)?x2?9; (3)2ax?2ay?2a(x?y) (4) a4?b4?(a2?b2)(a?b)(a?b)(要分解彻底) (5)

2x4?16?(x2?4)(x2-22)?(x?4)(x?2)(x?2)!要分解彻底训练一

基础知识点2：因式分解与整式乘法互为逆运算

例题2.乘法运算

2

(1)4a2?4ab?b2?(a?2b)2(2)4x?8x?1?4x(x?2)?12

(1)a(3a?5b)?3a2?5ab(2)(x?2y)(x?2y)?x2?4y2 (3)(a?3b)2?a2?6ab?9b2

训练二：因式分解

(1)3a2?5ab?(2)x2?4y2?(3)x2?6xy?9y2?

1

综合训练：因式分解

(1)x3?xy2?(2)a?a?2?2

(3)x2?4x?4?(4)x2?2x?1? (5)x4?1?

答案：训练一1.是2.否

训练二(1)a(3a?5b);(2)(x?y)(x?y);(3)(a?3b)2

综合训练1.x(x?y)(x?y);2.(a?1)(a?2);3.(x?2)2;4.(x?1)25.(x?1)2(x?1)

4.2提公因式法

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1.最大公约数：最大的公共约数

2.a?b??(b?a);(a?b)?(b?a);(a?b)??(b?a)

基础知识点1：公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式的公因式

★ 公因式可以是单项式，也可是多项，还可是多项式幂的形式(如a,(a?b),(a?b)等

232233

例题1.判断正误

多项式mx2?m?2中各项的公因式是m吗？

答：由于第三项的公因式没有m，所以不是

x吗？训练一：多项式x?x?2的公因式是

基础知识点2：因式分解的方法

（1）如果多项式是负数，要把负号提出来

（2）确定共因式的系数：各项系数的最大公约数

（3）确定公因式的字母：各项字母含相同字母的最低次方 ！公因式可以是单项式，也可以是多项式

2

2

例题2：求下列整式的公因式

(1)2x2,4x3,x2?x的公因式的x(2)mn(m?n),mn（m?n),mn(m?n)的公因式是mn(m?n) 训练二：

2223

x3,x4,x5的公因式

基础知识点3：提供公因式法：提公因式，将多项式化成两项积的形式

（1）若第一项有负号，则提 （2）在提公因式

（3）某项与公因式相同，该项保留1

例题3：判断正误

(1)4a2b?8a4b2?4a2(b?2a2b2)错:还有b没提出来 152215(2)15m?m?m(?m)错：是分式，不是整式mm训练三：

因式分解：24x?12x?4x?

综合训练： 1.因式分解

32(1)3a(x?y)?b(y?x)?(2)(x?y)4?x(x?y)3?y(y?x)3?(3)(x?y)?x?y?(4)2xn?1?6xn?8xn?1?2.化简求值 2

20172

?22016?

3

3.已知a?b?3,ab?2求a2b?ab2?

已知x?y?5,xy?6,求x2y?2xy2?6y?2?

4.分解因式2ab?12ab?18ab?

5.分解因式b2(x?y)?(y?x)3?2b(y?x)2?

答案：训练一1.否； 训练二x； 训练三4x(6x2?3x?1) 综合训练

2231.(1)(x?y)(3a?b);(2)?2y(x?y)3;(3)(x?y)(x?y?1);(4)2xn?1(x?4)(x?1)2.22016 3.6；28； 4.2ab(1?3b) 5.

2(x?y)(x?y?b)2

4.3公因式法

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1.平方差公式：(a?b)(a-b)?a?b

2.完全平方式：(a?b)?a?2ab?b;(a?b)?a?2ab?b

基础知识点1：用平方差公式a?b?(a?b)(a-b)分解因式（重点）

★ a,b可是单项式，也可是多项，还可是多项式幂的形式(如3，b,a,(a?b),(a?b)等

232222222222★ 常见公式变性①位置变化a?b?(a?b)(-b?a)

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