一线三等角型相似初三压轴题

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中考热点5——三等角型相似三角形

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题

【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° A （1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60°

F 再用外角可证∠BED=∠CDF，可证△BDE与△CFD相似排出相似比便可 E

求得线段BE的长度 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∠EDF=60°

∴∠B=∠C=∠EDF=60°

C ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED B D

∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD （2）∵△BDE∽△CFD

∴

FCCD? BDBE5 3∵BD=1，FC=3，CD=5 ∴BE=

A 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，

F 求证：△BDE∽△DFE

E 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D成为了BC的中点，所以△BDE与

△CFD相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD=CD的条件 可证得△BDE和△DFE相似 B 解： ∵AB=AC，∠EDF=∠B

∴∠B=∠C=∠EDF

∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD ∴

D

C BEDE?又∵BD=CD CDDFBEDEBEBD??∴即 BDDFDEDF ∵∠EDF=∠B

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∴△BDE∽△DFE

点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D是底边中点则有三对相似三角形，△BDE与△CFD相似后若得

BDDE?加上BD=CD可证得△CFD与△DFE相似 CFDF【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；

A （1）求证：△ABP∽△PCM；

M （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．

（3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长．

C P 【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对△APM B 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP∽△PCM相关的结论 解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠B=∠C

A

∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP ∴∠BAP=∠MPC

M ∴△ABP∽△PCM

B P C （2）∵BP=x，CM=y，CP=8-x

∵

ABBP? PCMCA M

B

P

C

5x∴? 8?xy128∴y??x?x(0?x?8)

55（3）当AP=PM时

∵

PMPC?∴PC=AB=5 PAAB∴BP=3

当AP=AM时

∵∠APM=∠B=∠C

∴∠PAM=∠BAC即点P与点B重合 ∴P不与点B、C重合 ∴舍去 当MP=AM时

∴∠MAP=∠MPA ∴△MAP∽△ABC

MPAB5?? APBC8PMPC58?x5??即? ∴PAAB85839∴BP=

8∴

点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP和△PCM中简化运算。

【例4】（1）在?ABC中，AB?AC?5，BC?8，点P、Q分别在射

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A

Q B

P

C

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线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ??ABC.

①若点P在线段CB上（如图10），且BP?6，求线段CQ的长； ②若BP?x，CQ?y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的 定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ?90?.

当CQ?1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：（1）∵?APQ??CPQ??B??BAP，?APQ??ABC，

∴?BAP??CQP.

又∵AB?AC，∴?B??C. ∴?QCP∽?ABP.

B

备用图 A

D C

A B

图12

C

CQCP?. BPAB∵AB?AC?5，BC?8，BP?6，CP?8?6?2， CQ212?，CQ?∴. 655CQCP?（2）若点P在线段CB上，由（1）知. BPAB∵BP?x，BC?8， ∴CP?BC?BP?8?x，

y8?x128?又∵CQ?y，AB?5，∴ ，即y??x?x. x555128故所求的函数关系式为y??x?x，(0?x?8).

55若点P在线段CB的延长线上，如图11.

∴

∵ ?APQ??APB??CPQ， ?ABC??APB??PAB，

A

B C 备用图

Q

?APQ??ABC，∴ ?CPQ??PAB.

又∵?ABP?180???ABC，

P

?PCQ?180???ACB，?ABC??ACB，

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∴?ABP??PCQ.∴?QCP∽?PBA.∴

BPAB. ?CQPC∵BP?x，CP?BC?BP?8?x，AB?5，CQ?y，

∴

128x5，即y?x?x (x?0). ?55y8?x（2）当点P在线段BC上，BP?5?55?5，或BP?. 225?35. 2?5?35. 2当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP?当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP?点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

强化训练：

1. 如图，在△ABC中，AB?AC?8，BC?10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且

?ADE??C．

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BD?x，AE?y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

2. 已知：如图，在△ABC中，AB?AC?5，BC?6，点D在边AB

DE?AB，上，点E在边BC上．又点F在边AC上，且?DEF??B．

(1) 求证：△FCE∽△EBD；

(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S?FCE?4S?EBD． 如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．

3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，

将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。 （1）求证△BPD∽△CEP

（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？ 若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。

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A E

D

A F

B C

D B A E

C

E

D B P

C