普通高等学校招生全国统一考试数学 92湖南云南海南

把上列不等式两边分别相加,即得

(27)本小题考查直线与抛物线的基础知识,坐标轴的平移以及综合解题的能力.

解法一:由于抛物线过点(-1,6)和点(-1,-2),而

所以它的对称轴是y=2.

因此,可设抛物线的顶点坐标是(a,2),它的方程是 (y-2)2=2p (x-a)(p>0). ① 由抛物线通过点(-1,6)得 8=-p(1+a). ②

将直线方程y=2x+7代入①,消去y可得 (2x+5)2=2p(x-a),

即 4x2+(20-2p)x+(25+2pa)=0. ③

又因y1=2x1+7,y2=2x2+7,于是 (y1-y2)2=4(x1-x2)2,

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由④,⑤可得 128=(10-p)2-100-8pa, ⑥ 再由②得 -8pa=64+8p, 代入⑥得 128=(10-p)2-36+8p, 即 p2-12p-64=0,

解出 p1=16,p2=-4(不合题意,舍去). 把p1=16代入②可得

所以,抛物线的方程是

解法二:同解法一得抛物线的对称轴是y=2. 设所求抛物线的方程是 x=a(y-2)2+b (a>0). ① 由于它通过点(-1,6)得 -1=16a+b. ②

把直线方程 y=2x+7 代入①消去y得 x=a(2x+5)2+b,

即 4ax2+(20a-1)x+25a+b=0. ③

设直线与抛物线的交点是(x1,y1)和(x2,y2),于是x1和x2满足方程③,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

又因 y1=2x1+7,y2=2x2+7,于是 (y1-y2)2=4(x1-x2)2, 由题设可得

=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2. ⑤

由④,⑤可得 512a2+40a-1+16ab=0, ⑥ 由②,⑥消去b可得 256a2+24a-1=0.

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(28)本小题考查复数和解不等式的基础知识及综合解题能力.

解:设z=x+yi,其中x,y∈R,且x,y不同时为零,于是

即 y=0 或 x2+y2=10.

当y=0时,由x≠0知①即

当x2+y2=10时,①即 1<2x≤6,

因为z满足条件(Ⅱ),即x和y都是整数,于是可得

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的全体复数是 - 12 -

所以,同时满足条件(Ⅰ)和(Ⅱ)1+3i,1-3i,3+i,3-i.