《大学物理I》练习-正文 - 图文

《大学物理》课程教学补充资料

力 学

1．如图所示，质量为M?2.0kg的笼子，用轻弹簧悬挂起来，静止 在平衡位置，弹簧伸长y0?0.10m，今有m?2.0kg的油灰由距离 笼子底高h?0.3m处自由落到笼子上，求笼子向下移动的最大距离。

h 2．一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即

?kx动机后又行驶x距离时的速度为v?v0e其中v0 是发动机关闭时的速度。

dv??kv2式中k为常数。试证明电艇在关闭发dt3．质量为m的小球，在水中所受浮力为恒力F（F﹤mg），当它从静止开始在水中沉降时，受到水的粘滞阻力为f?kv（k为常数，v为小球速度），取竖直向下为x轴正向，t?0时x?0，v?0，求：① 小球的加速度a与速度v的关系；② 小球的最大速度；③ 小球速度v与时间t的关系。

???r?acos?ti?bsin?tj (SI)式中a、b、ω是正值常数，且a>b，试求 4．一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为：

(1) 质点在A点（a，0）时和B点（0，b）时的动能；

?? (2) 质点所受的作用力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx和分力Fy分别作的功。

5．一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω。设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M??k? (k为正的常数)，试求圆盘的角速度从ω0变为时所需的时间。

6．长为L的杆如图悬挂，o为水平光滑固定转轴，平衡时杆铅 直下垂，一速度为v0的子弹水平射入杆的最下端，并与杆一起 摆动，求杆和子弹的最大摆角θ。(杆和子弹的质量分别为M和m)

o θ M m ?02??v07．设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与它们之间的距离r的函数关系为f?地方势能为零。

k，k为正常数，试求这两个粒子相距为r时的势能。设相互作用力为零的3r8．质量为m的质点以初速度υ0沿x轴作直线运动，起始位置在坐标原点处，所受阻力与其速度成正比，试求质点速度为能行经的总距离之比。

v0（n>1）时，它所经过的距离与它所n???9．一质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程为r?acos?ti?bsin?tj，式中的a、b、?为常数。试求：

?(1)该质点所受到的对坐标原点O的力矩M；

?(2)该质点对O点的角动量L。

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力学答案

1．解： Mg?ky0 油灰与框碰前的速度： v?2gh

碰后油灰与框的共同速度为V，据动量守恒：mv?(M?m)V 油灰与框一起向下运动，下移最大位移距离为⊿y，据机械能守恒：

1112k(y0??y)2?(M?m)V2?ky0?(M?m)g?y 222 ∴⊿y = my0?M2m2hy0m22 =0.3 m y0?2M(M?m)M2．证： dv?dvdx?vdv??kv2

dtdxdtdx ∵

dv??kdx , v?vv0dv?v??kdx , lnvv0x??kx

0?kx ∴v?v0e 得证。

3．解： (1) ∵mg?F?kv?ma ∴a?mg?F?mv

mmg?F?ma

kmg?F ∴当 a=0时, vmax?

k (2) 由(1)知： v?1dvmg?F?kv? (3) ∵a? ∴

mdtm?tmg?F(1?em) 即： v?kk?t0dt??v0d(mg?F?kv)

?k(mg?F?kv)

????ti?bsin?tj 4．解：(1) 由位置矢量 r?acos 知： x?acos?t,y?bsin?t

dxdy??a?sin?t, vy??b?cos?t, dtdt A点(a，0)， cos?t?1,sin?t?0

vx? EkA?111mvx2?mvy2?mb2?2 222 B点(0，b)， co?st?0,sin?t?1 EkB?111mvx2?mvy2?ma2?2 2222??2 (2) F?maxi?mayj??ma?cos?ti?mb?sin?tj

由A?B,wx??0aFxdx??0?0am?2acos?tdx 1ma2?2 2???am?2xdx? wy?5．解： J

?b0Fydy???b0m?bsin?tdy??2?b0m?2ydy??1mb2?2 2d?dtd? ??k??k? ?Jdt?020??d?????t0Jln2kdt ∴ kt =ln2 t?JJk6．解：以子弹和直杆为一系统，子弹射入直杆过程，系统角动量守恒。 设：子弹射入直杆后瞬间系统的角速度为ω，系统的转动惯量为J。

mv0L?J?

2

J?1ML2?mL2 3 以子弹、直杆、地球为一系统，子弹射入直杆后摆动过程中，机械能守恒，设θ为最大摆角

1MgLJ?2?(1?cos?)?mgl(1?cos?) 223m2v0 1?cos??gL(2m?M)(M?3m)23m2v0 则最大摆角 ??arccos[1?]

gL(2m?M)(M?3m)

7．解： 已知f = 0，即r??处为势能零点 Ep?wp??2??r???kkf?dr??3dr?2

rr2r8．解： f??kv?mdv ? dt?vv0dvk??vmk?dt

0t?tvk??t ? v?v0em lnv0m?tdx?v0em ? 又 v?dtk?dx?v?00xt0e?ktmdt

?tmv0(1?em) 得 x?kk由此可知，质点所能行经的最远距离为xmax??ktmtv0m 得 e?n， ?nkmv0 k 由 则

v?v0ekmt?lnn? t?lnn mkk?tmv0mv0mv01(1?em)?(1?e?lnn)?(1?) 此时质点运动的距离为：xt?kkknmv0(1?1n)xt1k??(1?) 则

xmaxmv0kn

9．解：

????dr（1）V??a?sin?ti?b?cos?tj

dt?????dV22a??a?cos?ti?b?sin?tj???2r

dt???F?ma??m?2r ????? M?r?F?r?(?m?2r)?0

（2）

???L?r?mV?????(acos?ti?bsin?tj)?m(?a?sin?ti?b?cos?tj) ??22?m?abcos?tk?m?absin?tk??m?abk

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振动与波动

一、选择题

1．一列机械横波在t时刻的波形曲线如图 所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的

0 y o′ a c b f d e g x 位置是：

A．o′，b，d，f； B．a，c，e，g； C．o′，d； D．b，f 。

2．一平面余弦波在t=0时刻的波形曲线如图所示， 则ｏ点的振动初相位?为： A．0； B．

3??； C．?； D．。

22tx??3．在弦线上有一简谐波，其表达式是：y1?2.0?10?2cos?2?(?SI?，为了在此弦线上形成驻波，并且在x=0处为一波节，此弦线上还应有一简?)???0.02203??谐波，其表达式为：

A．y2?2.0?10?2cos?2?(t?x)???(SI)；

?0.02203???tx2?? B．y2?2.0?10?2cos?2?(?)?(SI)； ??0.02203??tx4?? C．y2?2.0?10?2cos?2?(?)?(SI)； ??0.02203??tx?? D．y2?2.0?10?2cos?2?(?)?(SI)。 ??0.02203??4．如图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，已知P点的振动方程为y?Acos(?t??0)，则波动方程为

??t?(x?l)u???0?； A．y?Acos???t?(x?l)u???0?； B．y?Acos? C．y?Acos?t?xu?；

0 y l P u x ??t?(xu)???0?。 D．y?Acos?5．下列函数f(x,t)可表示弹性介质的一维波动，式中A、a和b是正常数，其中哪个函数表示沿x轴负方向传播的行波? A．f(x,t)?Acos(ax?bt)； B．f(x,t)?Acos(ax?bt)； C．f(x,t)?Acosax?cosbt； D．f(x,t)?Asinax?sinbt。

二、填空题

1．一驻波方程为y?2Acos(2?x?)cos?t，则x???2处质点的振动方程为：

；该质点的振动速度表达式为： 。 2．一平面简谐波（机械波）沿x轴正方向传播，波动方程为y?0.2cos(?t?则x=-3m处媒质质点的振动加速度a的表达式为 。

3．已知14°C时的空气声速为340m/s，人可以听到频率为20Hz至20000Hz范围内的 声波，可以引起听觉的声波在空气中的波长范围为 至 。

4．两平面相干波源S1、S2相距20cm，振幅均为2 cm，相位差为π，则两列波在S1 S2 连线的中垂线上任一点P叠加后的合振幅为A＝ 。 5．一简谐波沿x轴正方向传播，x1与x2两点处的振动曲线 如图所示。已知x2>x1且x2－x1<λ（λ为波长），则波从x1点

0

T/4 4

t y1 A 0 T/2 y2 t ?x2)(SI)；