2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷

∴∴＝＝

………………（12分）

………………（15分）

【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．

21．【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可 （Ⅱ）求出g（x）的解析式，当当解，则只需要讨论当

2

时，方程x+x＝1﹣λx在

2

内必有一

时，方程x+x＝λx﹣1在内的解的个数问题，利

用一元二次函数的性质进行讨论求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（0）＝0，∴c＝0， ∵对于任意x∈R，都有∴函数f（x）的对称轴为

2

，

，即

，得a＝b………………（3分）

又f（x）≥x，即ax+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R，都成立， ∴a＞0，且△＝（b﹣1）≤0． ∵（b﹣1）≥0，∴b＝1，a＝1．

∴f（x）＝x+x． ………………（6分） （Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|＝x+x﹣|λx﹣1|， ∵λ＞0，则即求方程x+x﹣λ|x﹣∵λ＞0，当分） 只需考虑

2

2

2

2

22

2

|，在（﹣1，2）内的解的个数问题．

内必有一解． ………………（8

时，方程x+x＝1﹣λx在

时，方程x+x＝λx﹣1在

2

2

内的解的个数问题．

2

即x+（1﹣λ）x+1＝0，判别式△＝（1﹣λ）﹣4＝λ﹣2λ﹣3＝（λ+1）（λ﹣3）， 当△＝0时，可得λ＝3．此时x＝1．在（，2）上，此时有一解； 当△＜0时，可得0＜λ＜3．此时f（x）＝0无解，即此时在

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内无解；

当△＞0时，可得λ＞3．记两解为x1，x2，（x1＜x2），∵x1?x2＝1，必有之间，

取x＝2，若2λ﹣1＜f（2）即若2λ﹣1＞f（2），即

时，解x2∈（1，2）；

，x2∈[2，+∞）； ………………（14分）

综上，当0＜λ＜3时，g（x）在（﹣1，2）内有一个零点； 当λ＝3或当

时，g（x）在（﹣1，2）内有两个零点；

时，g（x）在（﹣1，2）内有三个零点； ………………（15分）

【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题． 22．【分析】（Ⅰ）推导出函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）+（0）＝1．利用导数性质能求出函数f（x）在x＝0处的切线方程．

（Ⅱ）令g（x）＝e﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e﹣1≥0，推导出e

x

x

x

x

x

+1，f′

≥x+1．m≤0时，x≥0时，f（x）≤e恒成立．m＞0时，x≥0时，f（x）≤e．令F（x）＝f（x）﹣e，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e﹣x﹣1，证明：（Ⅲ）当

时，

≥．由此能求出实数m的取值范围．

，从而

，令

x

x

，推导出

（n∈N*）．

，利用累加法能证明

【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝mxln（x+1）+x+1，令x＝0时，f（0）＝1， ∴函数f（x）恒过点（0，1）． f′（x）＝mln（x+1）+

+1，∴f′（0）＝1．

∵函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0． （Ⅱ）令g（x）＝e﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0． 则g′（x）＝e﹣1≥0，

∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）＝0，因此e≥x+1．

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x

x

x

x

①若f（x）＝mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e， 则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0． ∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e恒成立． ②m＞0时，x≥0时，f（x）≤e．

令F（x）＝f（x）﹣e，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0． 由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e﹣x﹣1， x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R． x＞0时，化为：m≤下面证明：

x

x

x

xx

．

≥．

令h（x）＝2e﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）＝0． h′（x）＝2e﹣2﹣ln（x+1）﹣h（x）＝2e﹣∴h′（x）≥0．

∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0． ∴∴m≤．

综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，）． （Ⅲ）由（2）知：当∴

时，，

，

≥成立，并且是其最小值．

″

x

．h′（0）＝0．

″

x

﹣≥h（0）＝0，

令，∴，

∴累加得：∴∴

，

，

（n∈N*）．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

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