理论力学（陈世民）答案

d??2?ds?dsd???2k??2k??2k??2k?且：

dsdt??dtdtdtd?d????2kd?

?2k?? 积分得：??ue（代入?0?u）

又因为：y2?2px在(p,p)点处斜率： 2dy1dx?x?p2 k1?d2pxp?dx2xx?p2?1

在(p,?p)点处斜率：

2dy2dx??x?p2 k2?d2pxp??dx2xx?p2??1

故：???arctank2?arctank1? 即：??ue?k??2

12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。

解：设空气阻力为f，且小球初速为?，质量为没，则有：

上升时间：t1??g?fm

上升高度：h??22(g?fm)

下落时间：t2?2ha22??01g2?f2

m22g?ft1mm?1 得：??t2(g?f)g?fmmg2?f 即得证。

13 质量为m的质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。

? 解：设加速度为a，速率为?，则：ma?mg?C??m?2得：

d?2g?C??dt积分并代入t?0时??0有： m??mg(1?C21?e4g2tgC2tgC)

m?? a??(1?e??8ge a2tgCm?0

m2)gCm(1?e2tgCm?3)(1?e2tgCm)?0

知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。

14 将一质量为m的质点以初速度?0与水平线成?角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的mk倍，这里k是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为?角度时所需时间。

?x??mk?x,m??y??mg?mk?y 解：依牛顿第二运动定律有：m? 积分并代入初始条件：t?0时：?0x??0sin?,?0y??0cos?

解得：?x??0cos?e当再次夹角为?时：

?ktgg,?y?(?0sin??)e?kt?

kk?y??tan? ?x可解出：t?2?ksin?1ln(1?0) kg 15 一质量为m的质点用一长度为l的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为3m。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水

2平方向给质点以大小为2gl的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是?时，小环在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是13，此时绳中的张力为

FT?3mgco?s。

解：依

11m?2?m?02?mgl?1?cos?? 222得：m?r?2mgcos? r?mgcos??3mgcos?

2m?则：FT???FT?3mgcos?sin?sin2?2tan???? 2233cos2??23?tan?2FT??mg3mgcos??mg22d?2(3?tan2??2tan2?)又因为：??0 22dtan?(3?tan?)得：tan??3 故：tan??3 即得证。

16 滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为m的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率?0下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸长?0。 解：（注：此题中W?mg）设最大伸长为?m有：k?mg?0?W?0

依能量守恒：

111k?m2?k?02?m?02?mg??m??0? 222 解得：?m??0??0?0g 则：FTm?k?m?W??1??0?0?1? g?0?? 17 两个相同的轻质弹簧，劲度系数为k，自然长度是l0，在它们中间竖直地串接一质量为弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是m的质点。

设开始时质点静止于AB的中点，求质点的运动规律。

3l0

2。

l0?1?l01?kl2?217解：质点运动时势能V??mgx?k?x???k???x???mgx?kx?

2?4?2?416?dV??mg?2kx?0 dxmg得:x0?

2kdV?? ?mg?2kx?mx且运动时受力满足：F??dx在平衡时：

代入初始条件: t?0,x?0,A?x0

22可解得：x??2k??mg? 1?cost????????2k??mg?? 18 两个质量都是m的质点A和质点B用一自然长度为l0的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧的劲度系数为k。两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到一大小为kl0的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。

??A?k?xB?xA?l0???*1??FA?mx18解：依受力分析知 ?

??B?k?2l0?xA?xB???*2??FB?mxkxA???xB?l0 *1+*2得： ??mkl2积分得: xA?xB?0t?l0

2mkklxA?(0t2?2xA) 代入*1得：??m2ml0?2t2?cos?t?1) 积分得：xA?(42xB?同理：??kkl02(t?3l0?2xB) m2ml0?2t2?cos?t?5) 积分得：xB?(42式中??2k。 m另解：先将AB及弹簧看成一系统，其质心做一受恒力kl的作用，再将A与B 理解成绕质心做周期性振动，可得A的运动规律为质心运动与A振动的合运动，B亦然。计算亦很简单！ 19 一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面？

12?2?mgr1?cos??mr????解：将脱离时滑过相应角度为?，此时满足：? 2?mgr??2?mgrcos??可解得：??arccos2 3 20 一钢丝弯成尖端朝上的摆线：x?a(??sin?),z?a(1?cos?)，上面穿有一质量为m的小环。今若小环在钢丝的最低处获得大小为?0的初速度，开始沿摆线滑动。求出当小环的速度与水平线成?角度时，小环的速率?。已知小环与钢丝的摩擦系数为?。