当前位置:首页 > 理论力学(陈世民)答案
d??2?ds?dsd???2k??2k??2k??2k?且:
dsdt??dtdtdtd?d????2kd?
?2k?? 积分得:??ue(代入?0?u)
又因为:y2?2px在(p,p)点处斜率: 2dy1dx?x?p2 k1?d2pxp?dx2xx?p2?1
在(p,?p)点处斜率:
2dy2dx??x?p2 k2?d2pxp??dx2xx?p2??1
故:???arctank2?arctank1? 即:??ue?k??2
12 竖直上抛一小球,设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。
解:设空气阻力为f,且小球初速为?,质量为没,则有:
上升时间:t1??g?fm
上升高度:h??22(g?fm)
下落时间:t2?2ha22??01g2?f2
m22g?ft1mm?1 得:??t2(g?f)g?fmmg2?f 即得证。
13 质量为m的质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比,比例常数为C,试讨论此质点下落过程中的运动状况。
? 解:设加速度为a,速率为?,则:ma?mg?C??m?2得:
d?2g?C??dt积分并代入t?0时??0有: m??mg(1?C21?e4g2tgC2tgC)
m?? a??(1?e??8ge a2tgCm?0
m2)gCm(1?e2tgCm?3)(1?e2tgCm)?0
知:质点一直在做向下的变加速运动,且加速度越来越小。
14 将一质量为m的质点以初速度?0与水平线成?角抛出,此质点受到的空气阻力是其速度的mk倍,这里k是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为?角度时所需时间。
?x??mk?x,m??y??mg?mk?y 解:依牛顿第二运动定律有:m? 积分并代入初始条件:t?0时:?0x??0sin?,?0y??0cos?
解得:?x??0cos?e当再次夹角为?时:
?ktgg,?y?(?0sin??)e?kt?
kk?y??tan? ?x可解出:t?2?ksin?1ln(1?0) kg 15 一质量为m的质点用一长度为l的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上,小环穿于一固定的水平钢丝上,其质量为3m。开始时,小环静止质点下垂,处于平衡态。今若沿钢丝的水
2平方向给质点以大小为2gl的初速度,证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是?时,小环在钢丝上仍不滑动,则钢丝与小环间的摩擦系数至少是13,此时绳中的张力为
FT?3mgco?s。
解:依
11m?2?m?02?mgl?1?cos?? 222得:m?r?2mgcos? r?mgcos??3mgcos?
2m?则:FT???FT?3mgcos?sin?sin2?2tan???? 2233cos2??23?tan?2FT??mg3mgcos??mg22d?2(3?tan2??2tan2?)又因为:??0 22dtan?(3?tan?)得:tan??3 故:tan??3 即得证。
16 滑轮上绕有轻绳,绳端与一弹簧的一个端点联结,弹簧的另一端挂一质量为m的质点,如图所示。当滑轮以匀角速率转动时,质点以匀速率?0下降。若滑轮突然停止转动,试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸长?0。 解:(注:此题中W?mg)设最大伸长为?m有:k?mg?0?W?0
依能量守恒:
111k?m2?k?02?m?02?mg??m??0? 222 解得:?m??0??0?0g 则:FTm?k?m?W??1??0?0?1? g?0?? 17 两个相同的轻质弹簧,劲度系数为k,自然长度是l0,在它们中间竖直地串接一质量为弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点,如图所示,A、B间的高度差是m的质点。
设开始时质点静止于AB的中点,求质点的运动规律。
3l0
2。
l0?1?l01?kl2?217解:质点运动时势能V??mgx?k?x???k???x???mgx?kx?
2?4?2?416?dV??mg?2kx?0 dxmg得:x0?
2kdV?? ?mg?2kx?mx且运动时受力满足:F??dx在平衡时:
代入初始条件: t?0,x?0,A?x0
22可解得:x??2k??mg? 1?cost????????2k??mg?? 18 两个质量都是m的质点A和质点B用一自然长度为l0的轻质弹簧相连,置于一光滑水平桌面上,如图所示。弹簧的劲度系数为k。两质点处于静止状态,弹簧呈自然长度;而后,质点B沿AB方向受到一大小为kl0的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。
??A?k?xB?xA?l0???*1??FA?mx18解:依受力分析知 ?
??B?k?2l0?xA?xB???*2??FB?mxkxA???xB?l0 *1+*2得: ??mkl2积分得: xA?xB?0t?l0
2mkklxA?(0t2?2xA) 代入*1得:??m2ml0?2t2?cos?t?1) 积分得:xA?(42xB?同理:??kkl02(t?3l0?2xB) m2ml0?2t2?cos?t?5) 积分得:xB?(42式中??2k。 m另解:先将AB及弹簧看成一系统,其质心做一受恒力kl的作用,再将A与B 理解成绕质心做周期性振动,可得A的运动规律为质心运动与A振动的合运动,B亦然。计算亦很简单! 19 一质点从一光滑圆柱表面最高处,自静止下滑,如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面?
12?2?mgr1?cos??mr????解:将脱离时滑过相应角度为?,此时满足:? 2?mgr??2?mgrcos??可解得:??arccos2 3 20 一钢丝弯成尖端朝上的摆线:x?a(??sin?),z?a(1?cos?),上面穿有一质量为m的小环。今若小环在钢丝的最低处获得大小为?0的初速度,开始沿摆线滑动。求出当小环的速度与水平线成?角度时,小环的速率?。已知小环与钢丝的摩擦系数为?。
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