【考前三个月】(江苏专用)高考数学 压轴大题突破练 数列

中档大题规范练——数列

1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18. (1)若1

n

(2)设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn

?2n＋1?Snn均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由． 解 (1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，

又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根， 又公差d>0，所以a2

?a1＋d＝5，?所以?①

??a1＋3d＝13，

所以a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.

由1

即1×81＝(4i－3)2，解得i＝3.

n?n－1?

(2)由(1)知，Sn＝n×1＋2×4＝2n2－n， 1111

所以bn＝＝2(－)，②

?2n－1??2n＋1?2n－12n＋1所以b1＋b2＋…＋bn

111111＝2(1－3＋3－5＋…＋－)

2n－12n＋1＝n

， 2n＋1

n111因为＝2－<2，③

2n＋12?2n＋1?

1

所以存在m＝2使b1＋b2＋…＋bn

令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2. 当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1， 两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，an＝2n－1.

所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①

2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②，得

－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n. 从而Bn＝1＋(n－1)·2n.

即数列{nan}的前n项和为1＋(n－1)·2n.

3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn＝an＋2n.

(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； 6n－3

(2)若数列cn＝bn，Tn是数列{cn}的前n项和，证明：Tn<3.

?2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，?

(1)解 当n≥2时，由?

??2Sn－1＝an－2n＋1

?2an＝an＋1－an－2n

?an＋1＝3an＋2n，

从而bn＋1＝an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)＝3bn， 故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列， bn＝an＋2n＝3×3n－1＝3n， an＝3n－2n(n≥2)，

因为a1＝1也满足，于是an＝3n－2n. 6n－32n－1

(2)证明 cn＝bn＝，

3n－1

2n－32n－1135

则Tn＝30＋31＋32＋…＋＋，①

3n－23n－12n－32n－11135

Tn＝＋＋＋…＋＋3n，② 33132333n－12n－121222①－②，得3Tn＝30＋31＋32＋…＋－3n 3n－111－

3n－12n－12

＝1＋3·1－3n

1－32n－11

＝2－－3n 3n－12?n＋1?＝2－3n， n＋1

故Tn＝3－<3. 3n－1

1

4．已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2(a2n＋n)． (1)求数列{an}的通项公式；

1??，n为奇数，a2n＋1－1(2)设cn＝?求数列{cn}的前n项和Tn. ??3×2an－1＋1，n为偶数，1

解 (1)n＝1时，a1＝2(a21＋1)，得a1＝1， 1

由Sn＝2(a2n＋n)，①

1则当n≥2时，Sn－1＝2(a2n－1＋n－1)，② 1①－②得an＝Sn－Sn－1＝2(a2n－a2n－1＋1)， 化简得(an－1)2－a2n－1＝0，

an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)，

又{an}是单调递增数列，故an－an－1＝1，

所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. 1??，n为奇数，a2n＋1－1(2)cn＝? ??3×2an－1＋1，n为偶数，

当n为偶数时，

Tn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)

111n＝(＋＋…＋)＋3×(21＋23＋…＋2n－1)＋2 22－142－1n2－1n

2?1－42?111n＝1×3＋3×5＋…＋＋3×＋2

?n－1?×?n＋1?1－41111111nn

＝2×(1－3＋3－5＋…＋－)＋2×(42－1)＋2

n－1n＋1n2－2n－4

＝2n＋1＋.

2?n＋1?

当n为奇数时，

Tn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1)

n－1111

＝[＋＋…＋]＋3×(21＋23＋…＋2n－2)＋2 22－142－1?n＋1?2－1n－1n－11111111＝2×(1－3＋3－5＋…＋n－)＋2×(42－1)＋2 n＋2n2－2n－9

＝2n＋.

2?n＋2?

n2－2n－92n＋?n为奇数?，??2?n＋2?

所以Tn＝?n2－2n－4

2n＋1＋?n为偶数?.??2?n＋1?

2x＋31

5．已知函数f(x)＝3x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；

m－2 0141

(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*恒成立，2an－1an求最小正整数m.

2

an＋32＋3an12

解 (1)∵an＋1＝f(an)＝3＝3＝an＋3，

an2

∴{an}是以1为首项，3为公差的等差数列． 221

∴an＝1＋(n－1)×3＝3n＋3. 11

(2)当n≥2时，bn＝＝2121 an－1an

?3n－3??3n＋3?＝

1911

＝2(－)，

?2n－1??2n＋1?2n－12n＋1

9

91

又b1＝3＝2(1－3)，

911111919n

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(1－3＋3－5＋…＋－)＝2(1－)＝，

2n－12n＋12n＋12n＋1m－2 014

∵Sn<对一切n∈N*恒成立， 2即又

9nm－2 014

<对一切n∈N*恒成立， 22n＋1

m－2 01499n9<2，∴≥2， 22n＋1

即m≥2 023.

∴最小正整数m为2 023.

6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%. (1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；

(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

解 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2. 当n≥8时，

数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16， 5

公比为1＋25%＝4的等比数列，