人教版九年级上册数学：《二次函数y=ax2+k的图象和性质》学案

22．1.3 二次函数y＝a(x－h)＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax＋k的图象和性质

1．会用描点法画出y＝ax＋k的图象．

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2．掌握形如y＝ax＋k的二次函数图象的性质，并会应用．

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3．理解二次函数y＝ax＋k与y＝ax之间的联系．

一、情境导入

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在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方

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框铁片的面积y(cm)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？

二、合作探究

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探究点一：二次函数y＝ax＋k的图象与性质

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【类型一】y＝ax＋k的图象与性质的识别 2 若二次函数y＝ax＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A．a＝2

B．当x＜0，y随x的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点

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解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.

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方法总结：抛物线y＝ax＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．

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【类型二】二次函数y＝ax＋k增减性判断 2

已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x－1上，下列说法中正确的是( ) A．若y1＝y2，则x1＝x2

B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．

方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．

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【类型三】识别y＝ax＋k的图象与一次函数图象 2

在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax＋c的图象大致为

( )

解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.

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【类型四】确定y＝ax＋k与y＝ax的关系 22 抛物线y＝ax＋c与y＝－5x的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，

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3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x怎样得到的？

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解：抛物线y＝ax＋c与y＝－5x的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又

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∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x＋3.它是由抛物线y＝－5x向上平移3个单位得到的．

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方法总结：抛物线y＝ax＋k与y＝ax开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．

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探究点二：二次函数y＝ax＋k的应用

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【类型一】y＝ax＋k的图象与几何图形的综合应用

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的

三个顶点A、B、C，则ac的值是________．

2

解析：二次函数y＝ax＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互

2

相垂直平分且相等，不难求得B(－，)、C(，)，因为C(，)在函数y＝ax＋c的图象

222222上，将点C坐标代入关系式即可求出ac的值．

解：∵y＝ax＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点坐标为(，)．∵

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cccccc2

cc二次函数y＝ax＋c经过点C，∴＝a()＋c，即ac＝－2.

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方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．

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【类型二】二次函数y＝ax＋k的实际应用 2

cc2

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如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x＋运行，然后准确落入篮

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筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.

(1)球在空中运行的最大高度为多少？

(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？

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解：(1)∵y＝－x＋的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.

52127127

(2)在y＝－x＋中，当y＝3.05时，3.05＝－x＋，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一

5252象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25

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＝－x＋，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故

52该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.

22.1.3 函数y?ax2?c的图象与性质(一)

知识点：函数y?ax?c(a?0)的图象是一条 ，对称轴是 ，顶点是 ，当a?0，抛物线开口 ，顶点是抛物线的 ，当a?0，抛物线开口 ，顶点是抛物线的 。 一．选择题

21.抛物线y?2x?1的顶点坐标是（ ）

2A.(0，1) B. (0，-1) C. (1，0) D. (-1，0)

22.抛物线y?ax?b(a?0)与x轴有两个交点，且开口向下，则a,b的取值范围分别是

（ ）

A.a?0,b?0 B.a?0,b?0 C.a?0,b?0 D.a?0,b?0 1

3.如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分，若命中篮y 5圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）

A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m

24.将抛物线y?2x?3平移后得到抛物线y?2x2，平移的方法可以是（ ） 第3题

3.05m

x2.5m OlA.向下平移3个单位长度 B. 向上平移3个单位长度 C.向下平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度

25.抛物线y??2x?1的对称轴是（ ）

A．直线x?11 B．直线x?? C．y 轴 D．直线x?2 22

26.抛物线y?x?4与x轴交于B,C两点，顶点为A，则?ABC的周长为（ ）

A．45 B．45?4 C．12 D．25?4