2016年高考新课标甲卷全国Ⅱ文科数学试题(附答案)

此时丙所拿的卡片为A．

(17)【解析】 (Ⅰ)设数列?an?的公差为d，由题意有2a1?5d?4,a1?5d?3，

解得a1?1,d?22n?3，所以?an?的通项公式为an?. 55?2n?3?， ??5?（Ⅱ）由(Ⅰ)知bn??当n=1,2,3时，1?2n?3?2,bn?1； 52n?3当n=4,5时，2??3,bn?2；

52n?3当n=6,7,8时，3??4,bn?3；

52n?3当n=9,10时，4??5,bn?4，

5所以数列?bn?的前10项和为1?3?2?2?3?3?4?2?24.

(18)【解析】(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数

小于2的频率为

60?50?0.55， 200故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：

保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05 30?30?0.3， 200调查200名续保人的平均保费为

0.85a?0.30?a?0.25?1.25a?0.15?1.5a?0.15?1.75a ?0.30?2a?0.10?1.1925a，

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.

（19）【解析】（Ⅰ）由已知得，AC?BD,AD?CD，

又由AE?CF得

AECF，故AC//EF. ?ADCD由此得EF?HD,EF?HD?，所以AC//HD?.

（Ⅱ）由EF//AC得

OHAE1??. DOAD4由AB?5,AC?6得DO?BO?所以OH?1,D?H?DH?3.

AB2?AO2?4.

于是OD??OH?(22)?1?9?D?H,故OD??OH.由（Ⅰ）知AC?HD?，又AC?BD,BD所以AC?平面BHD?,于是AC?OD?. 又由OD??OH,AC又由

22222

HD??H，

OH?O，所以，OD??平面ABC.

EFDH9得EF?. ?ACDO211969五边形ABCFE的面积S??6?8???3?.

2224所以五棱锥D'?ABCEF体积V?169232??22?. 342（20）【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??).当a?4时，

f(x)?(x?1)lnx?4(x?1),f?(x)?lnx?1?3，f?(1)??2,f(1)?0. x曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0. （Ⅱ）当x?(1,??)时，f(x)?0等价于lnx?令g(x)?lnx?a(x?1)?0. x?1a(x?1)，则 x?112ax2?2(1?a)x?1g?(x)???,g(1)?0，

x(x?1)2x(x?1)2（i）当a?2，x?(1,??)时，x?2(1?a)x?1?x?2x?1?0，

故g?(x)?0,g(x)在x?(1,??)上单调递增，因此g(x)?0； （ii）当a?2时，令g?(x)?0得

22x1?a?1?(a?1)2?1,x2?a?1?(a?1)2?1，

由x2?1和x1x2?1得x1?1，故当x?(1,x2)时，g?(x)?0，

g(x)在x?(1,x2)单调递减，因此g(x)?g(1)?0.

综上，a的取值范围是???,2?.

（21）【解析】（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y1?0.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(?2,0)，因此直线AM的方程为y?x?2.

?， 4x2y2??1得7y2?12y?0， 将x?y?2代入431212，所以y1?. 7711212144因此?AMN的面积S?AMN?2???. ?27749解得y?0或y?x2y2??1得 （Ⅱ）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入43(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0.

16k2?122(3?4k2)由x1?(?2)?得x1?，

3?4k23?4k2121?k2故|AM|?1?k|x1?2|?. 3?4k2212k1?k21由题设，直线AN的方程为y??(x?2)，故同理可得|AN|?. 24?3kk由2|AM|?|AN|得

322k324k?6k?3k?8?0. ，即?223?4k4?3k设f(t)?4t?6t?3t?8，则k是f(t)的零点，

f'(t)?12t2?12t?3?3(2t?1)2?0，

所以f(t)在(0,??)单调递增，又f(3)?153?26?0,f(2)?6?0， 因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且零点k在(3,2)内，所以3?k?2.

（22）【解析】（Ⅰ）证明：∵DF?CE

∴Rt△DEF∽Rt△CED

∴?GDF??DEF??BCF，∵DE?DG，CD?BC ∴

DFCF? DGBCDFCF? DGBC∴△GDF∽△BCF ∴?CFB??DFG

∴?GFB??GFC??CFB??GFC??DFG??DFC?90? ∴?GFB??GCB?180?． ∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，AB?1，

∴DG?CG?DE?1， 2∴在Rt△GFC中，GF?GC， 连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，

111∴S四边形BCGF?2S△BCG=2??1?=．

222（23）【解析】（I）整理圆的方程得x2?y2?12?11?0，

??2?x2?y2?由??cos??x可知圆C的极坐标方程为?2?12?cos??11?0． ??sin??y?

（Ⅱ）记直线的斜率为k，则直线的方程为kx?y?0，

?10??25??由垂径定理及点到直线距离公式知：?2??， 1?k2???6k2

51536k2902k?即，整理得，则． k???31?k2431??2x,x??,?2?1?1（24）【解析】（I）f(x)??1,??x?,

2?21?2x,x?.?2?当x??1时，由f(x)?2得?2x?2,解得x??1； 2