专题11 平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学（理）分项汇编附解析

设A?0,1?,B?0,0?,C?2,0?,D?2,1?,P?x,y?， 易得圆的半径r?242，即圆C的方程是?x?2??y2?，

55uuuruuuruuuruuuruuuruuurAP??x,y?1?,AB??0,?1?,AD??2,0?，若满足AP??AB??AD，

则??x?2?xx ，??,??1?y，所以?????y?1，

22?y?1???xx42?y?1，即?y?1?z?0，点P?x,y?在圆?x?2??y2?上， 225设z?2?z2x?所以圆心(2,0)到直线?y?1?z?0的距离d?r，即，解得1?z?3，

215?14所以z的最大值是3，即???的最大值是3，故选A．

【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

uuuruuuruuur10．【2017年高考全国II卷理数】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小值是 A．?2 C．?

B．?3 24 3D．?1

【答案】B

【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，

uuuruuuruuurA(0,3)PA?(?x,3?y)PB?(?1?x,?y)PC?(1?x,?y)，则，B(?1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，所以，，

22所以PB?PC?(?2x,?2y)，PA?(PB?PC)?2x?2y(3?y)?2x?2(y?uuuruuuruuuruuuruuur3233)???，当222

P(0,33)时，所求的最小值为?，故选B． 22【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

11．【2017年高考北京卷理数】设m,n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n<0”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A

【解析】若???0，使m??n，则两向量m,n反向，夹角是180?，那么m?n?mncos180??

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

?mn?0；若m?n?0，那么两向量的夹角为?90?,180??，并不一定反向，即不一定存在负数?，使得m??n，所以是充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若p?q,q??p，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p?q，那么p，q互为充要条件；若p??q,q??p，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:x?A,

q:x?B,若A?B，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若A?B，那么p，q互

?为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为?q是?p条件的判断.

12．b=0，若c?2a?5b，则cosa,c?___________. 【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·

【答案】

2 3【解析】因为c?2a?5b，a?b?0， 所以a?c?2a2?5a?b?2，

|c|2?4|a|2?45a?b?5|b|2?9，所以|c|?3，

a?c22??所以cosa,c? ． a?c1?33【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想

得出答案．

13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB?23,AD?5,?A?30?，点E在线

uuuruuur段CB的延长线上，且AE?BE，则BD?AE?___________．

【答案】?1

【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，AB?23,因为AD∥BC，?BAD?30?，所以?ABE?30?， 因为AE?BE，所以?BAE?30?， 所以直线BE的斜率为AD?5,则B(23,0)，D(535,). 2233，其方程为y?(x?23)， 33直线AE的斜率为?33，其方程为y??x. 33?3(x?23),?y??3由?得x?3，y??1， ?y??3x?3?所以E(3,?1).

uuuruuur35所以BDgAE?(,)g(3,?1)??1.

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【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.

14．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.

若AB?AC?6AO?EC，则

uuuruuuruuuruuurAB的值是___________． AC

【答案】3. 【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．

uuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur3uuu6AOgEC?3ADgAC?AE?AB?ACgAC?AE，

2??????ruuur3uuu?AB?AC2??r1uuur??uuug?AC?AB??3??ruuur1uuur2uuur21uuuruuur?3?uuu?ABgAC?AB?AC?ABgAC? 2?33?ruuur1uuur2uuur2?uuuruuur1uuur23uuur2uuuruuur3?2uuu??ABgAC?AB?AC??ABgAC?AB?AC?ABgAC， 2?3322?uuuruuurr23uuur21uuuAB?3 得AB?AC,即AB?3AC,故

22AC【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

15．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个?i(i?1,2,3,4,5,6)取遍??时，

uuuruuuruuuruuuruuuruuur|?1AB??2BC??3CD??4DA??5AC??6BD|的最小值是___________；最大值是___________．

【答案】0；25. 【解析】以AB, AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.