浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟（三）试题

2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）

姓名_______

一、

填空题，每题8分

1.设sinx?cosx?

2.设i为虚数单位，化简(i?1)2016?(i?1)2016?

3.已知等差数列a1,a2, 4. 集合

1，则sin3x?cos3x? 2a1000的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a1? ??x???2x???3x?x?R??1,2,,100?共有 个元素，其中?x?表示不超过x的

最大整数。

2x5.若关于x的方程x?ae有三个不同的实根，则实数a的取值范围是

O为正方体的中心，点M,N分别在6.在如图所示的单位正方体ABCD?A1BC11D1中，设

棱A1M?1D1,CC1上，A12,CN?,则四面体OMNB1的体积等于 23MA1D1B1C1NDAOBC

7.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点，P经过E的两个焦点，并且P与E恰有三个交点，则E得离心率等于

二、 简答题

22an?1?3an?1?98.已知数列?an?满足a0?1,a1?5,an?，n?2。用数学归纳法证明：

2an?2an?2n?2?3

229.证明：对任意的实数a,b,c都有a?ab?b?a2?ac?c2?3a2?(a?b?c)2并

求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1?mn?nm?mn的所有正整数对(m,n)

2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案

三、

填空题，每题8分

1.设sinx?cosx?1，则sin3x?cos3x? 2解答：由sinx?cosx?131ncxo?s，故sinxcosx??，从而，可得1?2six4821311(1?)? 2816sin3x?cos3x?(sinx?cosx)(sin2x?cosxsinx?cos2x)?2.设i为虚数单位，化简(i?1)2016?(i?1)2016? 解答：由(i?12)?i2，可得(i?12)01?621，同理可得(i?12)01?621故

(i?1)2016?(i?1)2016?21009

3.已知等差数列a1,a2,a1000的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a1?

解答：设等差数列的公差为d，则有100a1?4950d?100，100a1?94950d?1000解得

a1?0.505

4. 集合

??x???2x???3x?x?R??1,2,,100?共有 个元素，其中?x?表示不超过x的

最大整数。

解答：设f(x)??x???2x???3x?则有f(x?1)?f(x)?6，当0?x?1时，f(x)的所有可

能

值

为

0,1,2,3.

由

此

f(x)Z6得值域,

S??6k,?6k?1k?,?6k?2k,3??x???2x???3x?x?R??1,2,,100??4?17?1?67个元素。

2x5.若关于x的方程x?ae有三个不同的实根，则实数a的取值范围是

解答：设f(x)?xe，则f'(x)?(2x?x)e2?x2?x当x?0时，f(x)?xe单调递减，当

2?x0?x?2时，f(x)?x2e?x单调递增，当x?2时，f(x)?x2e?x单调递减，f(0)?0，

f(2)?4e?2，当x???时f(x)?0因此，f(x)?x2e?x?a有三个不同的实根当且仅

当0?a?4e?2

O为正方体的中心，点M,N分别在6.在如图所示的单位正方体ABCD?A1BC11D1中，设

棱A1M?1D1,CC1上，A12,CN?,则四面体OMNB1的体积等于 23x,y,z轴建立空间直解答：以A为原点，AB,AD,AA1为

1112角坐标系，则有O(,,0),M(0,,1),N(1,1,),B1(1,0,1)2223111由此四面体OMNB1的体积V?OB1?ON?OM?

6727.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点，P经过E的两个

焦点，并且P与E恰有三个交点，则E得离心率等于 D MA1D1C1B1NOBCx2y2解答：不妨设椭圆E的方程为2?2?1(a?b?0)，Pab经过E的两个焦点，x2?2cy?c2

Aa2?b2?c2，P与E恰有三个交点，所以c?2b，则E得离心率等于e?四、

简答题

c25 ?a522an?1?3an?1?98.已知数列?an?满足a0?1,a1?5,an?，n?2。用数学归纳法证明：

2an?2an?2n?2?3

证明：a0?1?22?3,a1?5?23?3,从而an?2n?2?3对n?0,1成立。 当n?2时假设an?1?2n?1?3，an?2?2n?3 由递推公式可得

22an2(2n?1?3)2?3(2n?1?3)?94?22n?15?2n?9?1?3an?1?9an????2n?2?3 nn2an?22(2?3)2?3由此，an?2n?2?3对一切n?0成立。

229.证明：对任意的实数a,b,c都有a?ab?b?a2?ac?c2?3a2?(a?b?c)2并

求等号成立的充分必要条件。

证明方法一：a2?ab?b2?a2?ac?c2?3a2?(a?b?c)2两边平方