福建-童其林-构造图形及建立坐标系是解平面向量问题的重要方法

构造图形及建立坐标系是解平面向量问题的重要方法

童其林

向量的几何表示，三角形，平行四边行法则使向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征. 所以，向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”.我们在研究向量问题或用向量解决数学问题时，如果恰到好处地构造适合问题的图形或建立平面直角坐标系，可以将许多复杂问题简单化，抽象问题直观化.本文结合实例，将构造思想在解决向量问题的妙处做一总结，以供参考.

1、构造三角形

?????????????例1设向量a，b,c满足a?b?c?0,(a?b)?c,a?b,若a?1,则

?2?2?2a?b?c的值是 .

??????????解法1（代数法） ?(a?b)?c,c??(a?b)，?(a?b)?(?a?b)，

???2?2??????????(a?b)?(a?b)?0，?a?b?0，?a?b?1，又?c??(a?b),a?b?0 ?2??2?2?2???2?2?2?c??(a?b)?a?b?2a?b?2，?a?b?c?4.

??解法2 （几何法）如右图作AB?BD?a，BC?b，???CA?c，?a?b，?AB?BC，又

C?????，又?a?b?BD?BC?CD?(a?b)?c，?CD?CA，

ABD???所以?ABC是等腰直角三角形，?a?1,b?1,c?2，

?2?2?2?a?b?c?4.

2、构造圆

例2 (2011年高考全国卷理科12)设向量a，b，c满足a?b?1,

B1a?b??,?a?c,b?c??600,c的最大值等于（ ）

2 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1

解析：如图，构造

CDAAB?a,AD?b,AC?c,,?BAD?120?,?BCD?60?，所以A,B,C,D四点共圆，可知

当线段AC为直径时，c最大，由余弦定理知BD=3,又

BD?2R,所以2R=2，所以0sin120c最大值为2，选A.

1

???变式训练 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足

?????(a?c)?(b?c)?0，则c的最大值是（ ）

（A）1 （B）2 （C）2 （D）答案 C。

3、构造点到直线的距离

0例3已知向量a?b?1，且a与b的夹角为120，问x为何值时，a?xb的值

2 2最小？并求此时b与a?xb的夹角.

解析 如图，设OA?a，OB?b，易知a?xb就是点A到直线OB上某点的的距离.所以，a?xbmin?点A到直线OB的距离，，即图中所示的AH.在?AOH中易得

AH＝

?3.此时b与a?xb的夹角为.

224、构造其它图形

例4 已知向量OB?(2,0),CA?(2cos?,2sin?),OC?(2,2),, ,则OA与OB夹

角的最小值和最大值依次是（ ）.

（A）0,?4 (B)

?5?412, (C)

?5?5??,, (D)1212122解析 OA?(2?2cos?,2?2sin?)由

则点A在以C?2,2?为圆心,2为半径的圆上,又由已知, OB?(2,0),则OB是Ox轴上的一个向量,所以圆C上的点与?0,0?点的连线的倾斜角即为OA与OB的夹角. 如图,可以求出,?AOx? 因而, ?min??4??6??12,?DOx??4??6?5?. 12?12,?max?5?,选(C). 12点评：解法1是直接法，麻烦，不如解法2. 5、建立平面直角坐标

某些问题建立直角坐标系能降低解决问题的门槛. 例

5（2013

年重庆卷理科

?????????10）在平面上，AB1?AB2，

????1??????????????????????????OB1?OB2?1,AP?AB1?AB2.若OP?，则OA的取值范围是（ ）

2

2

A．?0,???5?? B. 2??57???2,2? C. ???5??7?,2,2 D.???? ?2?2???? 解析 根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设AB1?a,AB2?b,点0的坐标为（x,y）,则点P的坐标为(a,b).

2222???(x?a)?y?1?(x?a)?1?y. 由0B1?OB2?1得?2，则?222???x?(y?b)?1?(y?b)?1?x

又由OP?111,得(x?a)2?(y?b)2?,则1?x2?1?y2?,即 2447722，所以x?y?. 42x2?y2?又(x?a)2?y2?1,得x2?y2?a2?1?2ax?1?a2?x2,则y2?1.

222同理由x2?(y?b)2?1,得x?1，即有x2?y2?2,所以x?y?2.

而OA?x2?y2.所以

7?OA?2，选D. 2以上例题都是关于平面向量的基础知识的考查，本身难度不大，属于中档题，可以依靠向量本身的运算性质得到相应的结论.但是如果采用向量的几何运算或坐标法，就可以使运算得以简化，有思维量而少计算量，而且整个思维过程充满技巧，小巧而有趣，充分反应了平面几何和平面向量交汇点试题巧妙的特点.其次，构造法的威力不可小觑；数形结合的思想是创新解题中永恒的主题.以前，我们强调更多的是用向量的观点解决几何问题，而上面的例子充分说明了逆向应用即构造几何图形解决向量问题同样精彩！不过，“构造几何图形巧解向量问题”技巧性强，需要有较好的数学功底.

（作者单位：福建省永定县城关中学）

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