2019年北京市东城区高三二模数学（理科）试卷及答案

所以曲线y?f(x)在点(,f())处的切线方程为y?x?1. ............................5分 ?（Ⅱ）因为x?[0,]，所以sinx?0，cosx?0，

2?2?2当a?0时，f(x)?x?sinx?0恒成立，axcosx?0恒成立， ?所以不等式f(x)?axcosx在区间[0,]上恒成立.

2当a?0时，设g(x)?f(x)?axcosx?x?sinx?axcosx，

g?(x)?1?cosx?acosx?axsinx?1?(1?a)cosx?axsinx，

若0?a?1，(1?a)cosx?0，axsinx?0， ?所以g?(x)?0在区间[0,]上恒成立；

2若1?a?2，?1?1?a?0，1?(1?a)cosx?0，axsinx?0， ?所以g?(x)?0在区间[0,]上恒成立；

2?所以g(x)在区间[0,]上单调递增，g(x)min?g(0)?0,

2?所以当a?2时，不等式f(x)?axcosx在区间[0,]上恒成立；

2当a?2时，令h(x)?g?(x)?1?(1?a)cosx?axsinx，

h?(x)?(2a?1)sinx?axcosx，h?(x)?0在区间[0,]上恒成立，

?2?a??所以g?(x)在区间[0,]上单调递增，g?(x)min?g?(0)?2?a?0，g?(x)max?g?()?1??0，

222?所以存在x0?[0,]，使得g?(x0)?0.

2当0?x?x0时，g?(x)?0，g(x)单调递减； 当x0?x??时，g?(x)?0，g(x)单调递增； 2当x?x0时，g?(x)?0，g(x)取得极小值；

?而g(0)?0，所以g(x0)?0，所以不等式g(x)?0在区间[0,]上不能恒成立，

2?所以不等式f(x)?axcosx在区间[0,]上恒成立时实数a的取值范围是(??,2]...............14分

2 （20）（共13分）

解：（Ⅰ） ?12??13??23?1. ............................3分

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（Ⅱ）不存在数表A4(2)，使得T(4,2)?1.理由如下：

?1?a?1.不妨设A4(2)??21?a31??a411a22a32a420a23a33a430??a24?， a34??a44? 假设存在A4(2)，使得T(4,2)?ij的可能值为01. ，当?ij=0(1?i?j?4)时，经验证这样的A4(2)不存在.

?a21?a22=1?当?ij=1(1?i?j?4)时，有?a31?a32=1，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，

?a?a=1?4142?1?0不妨设A4(2)???0??1101a231a330a430??a23?a24=1?a24??，所以有?a33?a34=1， a34??a?a=1?44?43a44?100??101?，

110??001?这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，

?1?0这样的A4(2)只能为??0??1100??1??101??0或

101??0??010??1这两种情况都与T(4,2)?1矛盾. ..............8分

（Ⅲ） 在数表An(m)中，将?ij换成1??ij，这将形成An(n?m)，

由于?ij?ai1aj1?ai2aj2?L?ainajn，可得

(1?ai1)(1?aj1)?(1?ai2)(1?aj2)?L?(1?ain)(1?ajn)?n?m?m??ij,

从而T(n，m)?T(n，n-m).

nn当m?时，由于?ait?ajt?0(0?i?j?n，i，j?N?)，

2t?1所以任两行相同位置的1的个数?又由于?ij?0，而从1到

n?1. 2nnn?1的整数个数?，从而T(n，m)?.2 22n从而当0?m?n时，都有T(n,m)?...............13分

2

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