2018高考（江苏专版）大一轮（文）复习检测：第58课 圆与圆的位置关系

第58课 圆与圆的位置关系

A 应知应会

1. 圆x+y=36与圆x+y-8x-6y=0的公共弦所在直线的方程为 .

2. (2016·镇江中学)已知集合A={(x,y)|x+y=4},B={(x,y)|(x-3)+(y-4)=r},其中r>0.若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是 .

3. (2016·如东中学)已知点M在圆C1:x+y+6x-2y+1=0上,点N在圆C2:x+y+2x+4y+1=0上,那么MN的最大值为 .

4. (2016·无锡一中)若两圆相交于点(1,3)和(m,-1),且两圆的圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c= .

5. 当实数k为何值时,圆C1:x+y+4x-6y+12=0和圆C2:x+y-2x-14y+k=0相交、相切、外离、内含? 6. 求经过圆x+y=58与直线6x+8y-3=0的交点,且分别满足下列条件的圆的方程: (1) 面积最小的圆;

(2) 圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3.

B 巩固提升

1. 经过圆4x+4y+3x+y-8=0与圆3x+3y-2x+4y-10=0的交点,且经过原点的圆的方程是 . 2. 若圆O:x+y=5与圆O1:(x-m)+y=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是 .

3. (2016·前黄中学)已知圆(x-2a)+(y-a-3)=4上总存在两个点到原点的距离都为1,那么实数a的取值范围是 .

4. (2015·南京三模)在平面直角坐标系中,圆C的方程为(x-1)+(y-1)=9,直线l:y=kx+3与圆C相交于A,B两点,M为弦AB上一动点.若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围为 .

5. (2016·如皋中学)如图,已知圆O:x+y=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且PQ=PA.

(1) 求a,b之间的表达式; (2) 求PQ的最小值;

(3) 以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试求出半径最小的圆的方程.

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(第5题)

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6. (2016·金陵中学)在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)+(y-1)=4和圆C2:(x-4)+(y-5)=4. (1) 若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2, 求直线l的方程;

(2) 设P为坐标平面内一点,存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

第58课 圆与圆的位置关系

A 应知应会

1. 4x+3y-18=0 【解析】易判断两圆相交,所以公共弦所在直线的方程为x+y-8x-6y-(x+y-36)=0,即4x+3y-18=0.

2. 3或7 【解析】由题意可知集合A,B中的两圆外切或内切,两圆圆心之间的距离为5,A中圆的半径为2,可知B中圆的半径为3或7.

3. +5 【解析】由题意知圆C1:(x+3)+(y-1)=9,圆C2(x+1)+(y+2)=4.如图,C1的坐标是(-3,1),半径是3;C2的坐标是(-1,-2),半径是2.所以C1C2==,因此,MN的最大值是+5.

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(第3题)

4. 3 【解析】因为两圆的交点关于两圆的圆心连线对称,故解得所以m+c=3.

5. 【解答】将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)+(y-3)=1,C2:(x-1)+(y-7)=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1; 圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=(k<50). 从而C1C2==5.

当1+=5,即k=34时,两圆外切; 当-1=5,即k=14时,两圆内切;

当14

6. 【解答】设经过圆x+y=58与直线6x+8y-3=0的交点的圆的方程为x+y-58-t(6x+8y-3)=0,即(x-3t)+(y-4t)=25t-3t+58.

(1) 若圆的面积最小,则相交弦为圆的直径,所以圆心(3t,4t)在直线6x+8y-3=0上,得t=,所以所求圆的方

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程为50x+50y-18x-24y-2 891=0.

(2) 所求圆的圆心为C(3t,4t),半径为.因为所求圆被直线x+y-1=0所截得的弦长为3,点C到直线x+y-1=0的距离为=,所以+=25t-3t+58,解得t=-4,所以所求圆的方程为x+y+24x+32y-70=0. B 巩固提升

1. 8x+8y+23x-11y=0 【解析】设所求圆的方程为4x+4y+3x+y-8+t(3x+3y-2x+4y-10)=0.因为所求圆经过原点,所以-8-10t=0,于是t=-,故所求圆的方程是8x+8y+23x-11y=0.

2. 4 【解析】依题意得△OO1A是直角三角形,所以OO1==5,故=··OO1=·OA·AO1,因此AB===4. 3. 【解析】由题意知圆(x-2a)+(y-a-3)=4与圆x+y=1相交,即1<<3,所以1<5a+6a+9<9,解得-

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(第4题)

5. 【解答】(1) 连接OQ,OP,则△OQP为直角三角形. 因为PQ=PA,

所以OP=OQ+PQ=1+PA,

所以a+b=1+(a-2)+(b-1),化简得2a+b-3=0.

(2) 方法一:由(1)知点P在直线l:2x+y-3=0上,所以PQmin=PAmin,PAmin为点A到直线l的距离, 所以PQmin==.

方法二:由PQ=OP-1=a+b-1=a+9-12a+4a-1=5a-12a+8=+,得PQmin=.

(3) 以P为圆心的圆与圆O有公共点,且半径最小时圆P与圆O外切,所以半径的最小值为点O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点且与l垂直的直线l'与l的交点P0,所以r=-1=-1. 又l':x-2y=0,与l:2x+y-3=0联立,解得P0, 所以所求圆的方程为+=.

6. 【解答】(1) 由题设条件知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d==1,结合点到直线的距离公式得=1?k=0或k=-,故所求直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.

(2) 设点P(m,n),直线l1的斜率k存在且不为0,则直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m), 即kx-y+n-km=0,-x-y+n+=0.

由题意可知圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离,即=,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.

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因为关于k的方程有无穷多解,则有或 故P或P.

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