1997年北京市海淀区中考数学试卷

【考点】圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】连接BD，根据垂径定理可得出AC=BC，继而得出∠1=∠D，判定△BCE∽△DCB，继而利用相似三角形的性质可得出答案． 【解答】证明：连接BD，

∵半径OC⊥弦AB， ∴

=

，

∴AC=BC，∠1=∠D， ∵∠BCE=∠DCB， ∴△BCE∽△DCB， ∴

=

2

，

∴BC=CD?CE

∴AC?BC=CE?CD．

【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及垂径定理的内容． 26．（4分）（1997?海淀区）如图，周长为24的凸五边形ABCDE被对角线BE分为等腰三角形ABE及矩形BCDE，且AB=AE=ED．设AB的长为x，CD的长为y，求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并在所给的坐标系中画出这个函数的图象．

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【考点】一次函数综合题． 【专题】探究型．

【分析】由四边形BCDE是矩形可知BC=ED，BE=CD，再根据AB=AE=ED=x，CD=y，可得出BC=x，BE=y．因为凸五边形ABCDE的周长为24，所以可得出y与x的函数关系式，根据三角形的三边关系可得出x的取值范围，由x的取值范围画出函数图象即可． 【解答】解：∵四边形BCDE是矩形， ∴BC=ED，BE=CD．

∵AB=AE=ED=x，CD=y， ∴BC=x，BE=y．

∵凸五边形ABCDE的周长为24， ∴y=24﹣4x．

∵AB﹣AE＜BE＜AB+AE， ∴0＜24﹣4x＜2x．

∴自变量x的取值范围是4＜x＜6． 函数的图象如图．

【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到矩形的性质、三角形的三边关系等相关知识，难度适中．

27．（5分）（1997?海淀区）关于x的方程x﹣mx﹣m﹣1=0①与2x﹣（m+6）x﹣m+4=0②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】计算题． 【分析】设方程①的两个实数根为α，β，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，进而表示出两根的平方和，第二个方程表示出两解，分别等于表示出的平方和列出关于m的方程，经检验即可得到满足题意m的值．

222

【解答】解：设方程①的两个实数根为α，β，那么α+β=m，αβ=﹣m﹣1，

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∴α+β=（α+β）﹣2αβ=m﹣2（﹣m﹣1）=m+m+2， 把方程②变形为[2x+（m﹣2）][x﹣（m+2）]=0， 解得：x1=﹣

，x2=m+2，

2

22222

若x1为整数根，根据题意，得m+m+2=﹣解这个方程，得m=﹣1， 此时x1=﹣

，

=不是整数根，不合题意，舍去，

2

若x2为整数根，根据题意，得m+m+2=m+2， 解得：m=0或m=﹣，

当m=0时，方程②的x2=0+2=2是整数，且△1=0﹣4×（﹣1）＞0，方程①有两个实数根，符合题意．

当m=﹣时，方程②的x2=﹣+2=不是整数，不合题意，舍去，

∴m=0．

【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 28．（5分）（1997?海淀区）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，过点D的切线交BC的延长线于点E．若BE⊥DE，AD+DC=40，⊙O的半径为的值．

，求BC的长及tan∠CDB

2

【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】连接AC，由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等，再由BE垂直于DE得到∠E为直角，进而得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，等量代换及等角对等边得到AD=DC，由AD+DC=40求出AD=DC=20，由圆四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形DEC与三角形ABD相似，由AD，DC，AB的长求出CE的长，根据勾股定理求出DE的长，再利用切割线定理求出EB的长，由EB﹣EC即可求出BC的长，根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDB=∠CAB，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tan∠CAB的值，即为tan∠CDB的值．

【解答】解：连接AC， ∵AB为直径，BE⊥DE， ∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°，

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∴DE∥AC，

∴∠EDC=∠DCA， ∵ED切圆O于点D， ∴∠EDC=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴AD=DC， ∵AD+DC=40， ∴AD=DC=20， ∵圆O的半径为∴AB=

，

，AB为直径，

∵四边形ABCD内接于半圆O， ∴∠DCE=∠DAB， 又∵∠E=∠ADB=90°， ∴△CDE∽△ABD， ∴

=

=

=，

∴CE=AD=×20=12， ∴DE=

=

=16，

∵DE是切线，ECB是割线， ∴ED=EC?EB， ∴EB=

=

=

， ，

2

∴BC=BE﹣CE=

∴AC===32，

∴tan∠CAB===，

∵∠CDB=∠CAB， ∴tan∠CDB=tan∠CAB=则BC=

，tan∠CDB=

， ．

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