量子力学练习题

量子力学练习题（一）

?均为厄米算符，?也为厄米算符 ?G?、1、 若F则F（） G2、 不同定态的线性叠加还是定态 （） ?对易，?对易 ?与B?与C?对易，?与C3、 若A且B则必有A（） ?对易，?与G4、 若两力学量算符F则在任意态中，它们都有确定的值 （）

5、 所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子 （） 6、 归一化波函数的模方|?(r,t)|2表示时刻，r处粒子出现的概率 （） 7. 设为?n(x)一维线性谐振子的归一化波函数，则有

????

?????n(x)dx? ；?(x)p*n?????n(x)dx? ?n?1(x)p*8、 称为隧道效应； ?2??L?2? ?的共同本征态Y中，?L?2和L9、在Lzxylm10、氢原子处于?320?Are11、

2?r3a0Y20(?,?)态，则其最可几半径r? Planck的量子假说揭示了微观粒子能量的 特性。

1212. 两个角动量j1?1、j2?耦合的总角动量J? 和

13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为

14. 本征值方程的特点是什么？

15. 全同性原理是

??x?16. 已知F?ddx??x?，F?ddx?,F?]?? ，求[F???,f(p?)]?? 17. 求[x18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m、-e、U，则其德布罗意波长。

19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。（ ） 20.设氢原子处于态 13?r,?,??RrY?,??R21?r?Y1?1??,?????21??10? 22求氢原子的能量、角动量平方、角动量z分量取值的情况和相应的概率P以及各力学量

的平均值。

量子力学练习题（二）

1、 简述量子力学的主要基本假定。

2、 何谓系统的定态，其主要特征是什么？

3、 若系统所处的状态恰好为某力学量算符的本征态，此时，若测该力学量，测得的结果是什么？

4、 什么是简单（正常）塞曼效应？

5、 为什么波函数称为体系的状态波函数或态函数？ 6、 电子的自旋角动量是电子的自转形成的。（ ）

Lx的平均值。 Y32态下，计算 7. 在

?满足[F?]?1，求[F?2]?? ?,G?2,G?和G8. 若F9. 设体系的一个未归一化的态为Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2（其中Ψ1和Ψ2是某一力学量的两个

满足正交归一性的本征态，C1和C2是两个系数），求波函数Ψ的归一化常数。 ??????????10. 计算[l,??l]??，其中?是泡利算符，是l轨道角动量算符

??p??L?p?p?yL?zL??L?y?2i?p?x11. 试证明 pzyyzz212. 设t=0时，粒子的状态为 ??x??Acoskx，求此时粒子动量的可能取值和相

应的几率，并求粒子的平均动量。

13．一个质量为 的粒子在宽度为a的一维有限深势阱

??U0?0U?x?????0?x?0,x?a??0?x?a?中运动，试利用本征值方程

2?x?p??? H?U??2?

????E??求束缚态能级? 0?E?U0?满足的方程。

?2p2?12??14.考虑一维线性谐振子，其哈密顿量H?|n??E|n??(n?求本征值方程为Hn12???x，

22)??|n?，

??(令a??2?)12??(xi????)，a???(p??2?)12??(xi???) p?|n???n|n?1?，a??|n???,a?]?1；a（1） 证明：[an?1|n?1?

?|0??0)，（2） 若|0?是归一化的基态矢量(a则第n个激发态为：，试求归一化因子Nn.

量子力学练习题（三）

1、氢原子的电子云实际是 。 2、电子的衍射图样是电子之间的相互作用造成的。（） ?(x)?Qu(x)，?(x,t)?3.设Qunnn?ann(t)un(x)，则?(x,t)在Q表象中的矩阵

表示为?? ，归一化条件为 4.以下关于角动量的三个分量的共同本征态的说法中，正确的为：（ ） （A）三个分量的共同本征态是 ； （B）三个分量中，只有两个分量有共同本征态；（C）三个分量没有共同本征态； （D）以上都不对。

??|n??f|n?，则?n|n'?? ，|n?的封闭性条件是 ，力学量G5. 设Fn的矩阵元Gmn?

6. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。（ ）

7. 两电子体系自旋单态波函数为 8. 两个角动量s1?1213，s2?，则耦合的总角动量s? 和 。相应的耦合态个

数分别为 个和 个。 9. 氢原子的所有能级都是简并的。（ ）

??px?)是 （厄米；非厄米）算符。 10. 算符i(xp11. 证明电子具有自旋的试验是 实验。

?12. 是波函数的矩阵表示，则其归一化的矩阵表示形式是 。

??r/a013. 已知电子的波函数为 ，计算电子几率分布的最可几半径； ??r??Ne13. 氢原子能量量子数是3,计算其简并度；

ikx-ik1x??x??Ae1?Be，14. 已知某个区域内粒子的波函数为 （A和B为实常数，并

且A>B），求粒子的几率流密度的大小和方向。

??????????????15. 证明：p?l?l?p?2i?p，其中为p动量算符，为l轨道动量算符。

16. 粒子在一半径a的圆环上“自由”运动，求其能量本征值和本征函数。 ???2??2217. 已知(S,Sz)的共同本征态为|s,ms?，即S|s,ms??s(s?1)?|s,ms?，

?2的平均值。 ?|s,m??m?|s,m?。计算S?2，SSyzsssx18. 两个质量为m的非全同粒子处于一维无限深势阱 U??求该体系三个最低能态的波函数和能级。

?0(0?x?L)??(x?0,x?L)中运动，

量子力学练习题（四）

1、Davission-Germer实验主要表现出电子具有 ； 2. Compton散射实验表明光子具有粒子性（ ）。

2、以下哪些概念是经典牛顿力学和量子力学所都有的（ ）

(A) 轨道. （B） 测不准关系. (C) 自旋. (D) 轨道角动量。

3、已知粒子坐标为r，动量p，则[r,p]? （是或不是）厄米算符。

????4. 处于定态的粒子的能量是确定的。（ ）.

5、设在球坐标系中粒子波函数为?(r,?,?)，则

在球壳（r~r?dr）中找到粒子的概率 ； 在（?,?）方向的立体角中找到粒子的概率 。

6. 体系的能量有可能不是量子化的。（ ）

7、已知两个角动量j1?1,j2?2，则其耦合的总角动量J可取 。 8、以下哪些实验现象不是应用自旋概念也能解释的?（ ） (A) 光谱线精细结构. （B）Stern-Gerlach实验. (C) 塞曼效应. (D) 夫兰克-赫兹实验。 9、归一化后的波函数是不唯一的。 （ ）

8、 称为全同性原理。

10. N = 3 Bose 子体系,，设有三个单粒子态分别记为 ?1 、?2 、 ?3 ，则以下哪些函数不能作为该体系对称化的波函数。（ ）

(A) ；（?1(q1)?2(q1)?3(q)B） 1?1(q1)?1(q2)?1(q3)(C) ?1(q1)?3(q2)? (q3)??1(q2)?3(q1)?3(q3)3

??1(q3)?3(q2)?3(q1)；(D) [?1(q1)?2(q2)?3(q3)??1(q2)?2(q3)?3(q1)

??1(q3)?2(q1)?3(q2)??1(q3)?2(q2)?3(q1)??1(q2)?2(q1)?3(q3)??1(q1)?2(q3)?3(q2)]?(x)p?]，p?是动量算符x分量，f(x)是坐x标的函数。 11、计算[x,pf?与J?之和(总角动量)，计算??2，J?2?。 ?是两个角动量算符 J12. 已知 J12J1??13、关于波函数，有如下几种说法：

（1）波函数在空间某一点的强度与粒子在该处出现的概率成正比； (2) 波函数都是满足归一化的；

(3) 波函数及其一阶导数是连续的； (4) 波函数是单值的。