2018秋新版高中数学选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.1

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3.2 复数代数形式的四则运算

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1(6-2i)-(3i+1)等于( )

A.3-3i B.5-5i C.7+i

D.5+5i

解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.

故选B. 答案B

2若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( ) A.0

B.2i

C.6

D.6-2i

解析∵z+i-3=3-i,

∴z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,

故选D. 答案D

3在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量 对应的复数为-1+2i,则向量 对应的复数为( A.1+5i B.3+i C.-3-i

D.1+i

解析因为 ,所以 对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B. 答案B

4若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为( ) A.3

B.2

C.1

D.-1

解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,

∴1+a=0.∴a=-1.

答案D

5若在复平面内的?ABCD中, 对应复数6+8i, 对应复数-4+6i,则 对应的复数是( ) A.2+14i

B.1+7i

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C.2-14i D.-1-7i

解析设 对应的复数分别为z1与z2,

则有 得2z2=2+14i,z2=1+7i,

- - 对应的复数是-1-7i. 故 答案D

6已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第 象限. 答案一

7已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(m∈R).若z1-z2=0,则m= . 解析∵z1-z2=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]

=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0,

∴

答案-1

- - ∴m=-1.

- -

8已知z1=

a+(a+1)i,z2=-3 b+(b+2)i(a,b∈R).若z1-z2=4 ,则a+b= .

解析z1-z2=

a+(a+1)i-[-3 b+(b+2)i]

=

+(a-b-1)i=4 , 由复数相等的条件,知

- - 解得 答案3

9若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.

分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.

解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1,

所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.

故a+b=3.

能力提升

1已知复数z1=

i,复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于( )

A.1

B.-1

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C.

i D.

i

答案A

2已知z1=3-4i,z2=-5+2i,z1,z2对应的点分别为P1,P2,则 对应的复数为( ) A.-8+6i C.8+6i

B.8-6i D.-2-2i

解析由复数减法的几何意义知: 对应的复数为z1-z2=3-4i-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选B. 答案B

3已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是( ) A.等腰三角形 C.等边三角形

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

解析因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形. 答案B ★

4已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是( )

B.3和1 D. 和3

A. +1和 -1 C.5 和 解析由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.

而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为 ,故最大值为 +1,最小值为 -1. 答案A ★

5已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|= ,则|z1-z2|= .

解析在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量 ,则向量 对应z1+z2, 对应z1-z2.

由题意知| |=1,| |=1,| |= ,可得∠OZ1Z=120°, 所以∠Z2OZ1=60°,即△Z2OZ1是等边三角形. 所以在△Z2OZ1中,| |=1,即|z1-z2|=1. 答案1

6已知集合A={z1||z1+1|≤1,z1∈C},B={z2|z2=z1+i+m,z1∈A,m∈R}. (1)当A∩B=?时,求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m,使得A∩B=A?

解因为|z1+1|≤1,所以z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心,以1为半径的圆面(圆周及其内部).又z2=z1+i+m,所以z1=z2-i-m.

所以|z2-i-m+1|≤1,即|z2-[(m-1)+i]|≤1.

所以z2所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为圆心,1为半径的圆面(圆周及其内部).

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(1)若A∩B=?,说明上述两圆外离,其圆心距d= - >2,解得m的取值范围是{m|m∈R,且m> 或m<- }.

(2)若A∩B=A,因为两圆半径相等,所以两圆重合,但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合,所以不存在实数m,使A∩B=A. ★

7在复平面内,复数z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2对应的点在以原点为圆心,半

径为1的圆周上移动,求复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积. 解设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,所以|z2|=|ω-z1|.

因为|z2|=1,所以|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω对应的点在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动. 又z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,

所以ω对应点的移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π,即复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是4+π. ★

8已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:

(1)A,B两点间的距离;

(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式. 解(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|= .

(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.

设z=x+yi(x,y∈R),代入上式,知 |(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|, 即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.

整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.

所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.

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