2019年宁夏银川一中高考数学四模试卷（文科）（解析版）

=378，解得：a1，利用通项公式可得a4+a5．

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】C

【解析】

设t=sin∴

，则

，

，且0＜t＜1，

∴当0＜t＜∴当t=

时，V'PABC＞0，当

＜t＜1时，V'PABC＜0， ， ．

解：由题意，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度， 可得g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-对于A中，当x∈[则函数g（x）在区间[对于B中，令x=

]，则2x-）， ∈[-，]，

时，VD-ABC取得最大值

∴四面体DABC体积的最大值为故选：A．

]上单调递增是正确的；

）=sin（2×

--）=sin=1为最大值，

设∠ABC=∠ADC=α，α∈（0，π），求出体积的表达式，利用函数的导数求解四面体DABC体积的最大值．

本题考查几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养，是中档题． 13.【答案】-1

【解析】

，则g（

∴函数g（x）图象关于直线x=对于C中，x∈[-]，则2x-

，对称是正确的； ∈[-π，0]，

则函数g（x）在区间[-]上先减后增，∴不正确；

）=sin0=0，

解：由约束条件作可行域如图，

对于D中，令x=，则g（）=sin（2×-∴g（x）图象关于点（故选：C．

）对称是正确的，

根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．

本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出的解析式是解决本题的关键． 12.【答案】A

【解析】

由图可知，可行域中点A的坐标是使目标函数z=2y-x取得最小值的最优解． 在4x+3y=4中，取y=0得x=1． ∴点A的坐标为（1，0）． 则z=2y-x的最小值是2×0-1=-1． 故答案为：-1．

由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z=2y-x的最优解，代入坐标求得z=2y-x的最小值．

本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，

＜），

是中档题．

解：设∠ABC=∠ADC=α，α∈（0，π）， ∴DO=ADcos

=2cos

，

×2×2sinα=2sinα，又DO 平面ABC，

∴VD-ABC==sin

=sin

=sinαcos（1-

）（0＜

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14.【答案】

【解析】

故答案为：a＞3或-6＜a＜-2．

利用可得x平方的分母大于y平方的分母，且两个分母均为正数，由此建立不等式关系，化简

整理即得本题的答案．

解：∵∴解得tanα=∵

，

本题给出曲线方程表示焦点在x轴的椭圆，求实数a的取值范围，着重考查了对椭圆的标准方

，

程的认识，属于基础题． 17.【答案】（本小题满分12分）

解：（1）∵ ，

由正弦定理可得 ， 因此得 ，

∵B是△ABC的内角，∴ …（6分） （2）∵sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，

222

由余弦定理b=a+c-2accosB， 得： ， 解得 ，∴ …（12分） 【解析】

22

∵sinα+cosα=1…①

tanα=，…②

解①②得sinα=，cosα=- ∴sinα+cosα=故答案为：-．

通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可． 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力． 15.【答案】x-y-1=0

【解析】

2

解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=2xlnx+x，则f′（1）=1，

=-．

（1）由

，利用正弦定理得，由此能求出角B．

222

（2）由sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b=a+c-2accosB，由此能求出a，c．

本题考查三角形中角的大小、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

（x-1）， ∴曲线f（x）在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×即x-y-1=0； 故答案为：x-y-1=0；

求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案．

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，是中档题．

16.【答案】a＞3或-6＜a＜-2

【解析】

18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA 面ABCD，

∴PA BC，

又四边形ABCD是矩形， ∴BC BA．

∴BC 平面PAB， ∴平面PAB 面PBC； 解：（Ⅱ）VF-PDC=VP-FDC = =3FD= ， ∴FD= ， ∴ ， ∵ ， ∴AE=2，

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解：∵方程

2

∴a＞a+6＞0，

表示焦点在x轴上的椭圆，

∴a＞3或-6＜a＜-2．

∵PA 平面ABCD， ∴PA AB，

在Rt△PAE中， PE2=PA2+AE2 =9+4，

得PE= ．

故PE的长为 ． 【解析】

合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．

（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

20.【答案】解：（I）由椭圆的定义可知△ABF2的周长4a=8，则a=2，

由直线AB的斜率为 时，AF2与x轴垂直，则tan∠AF1F2=

22222

则b=3c，由b=a-c=4-c， 则b= ，c=1，

（Ⅰ）先证PA BC，得到BC 平面PAB，得证；

（Ⅱ）转化为以P为顶点，利用体积公式求得FD，进而易求PE．

此题考查了线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，转换顶点求三棱锥体积等，难度适中．

19.【答案】解：（I）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为

丨 丨

丨 丨

== ，

∴椭圆的标准方程为：

；

cm．…（2分）

（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，

由直线l的斜率显然存在，设直线l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=1， 由 ，整理得：（

∴x1+x2=-

（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，

至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B）， 又男生共12人，其中有8人合格，从而

，所以 ．（6分）

，（4分）

，x1?x2=

，

假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，kMA+kMB=0， 即

（III）因为女生共有18人，其中有10人合格， 依题意，X的取值为0，1，2． 则

+

=0，

，

，

，

k（x1+1）（x2-m）+k（x2+1）（x1-m）=0，

∴2x1?x2-（m-1）（x1+x2）-2m=0，

2222

∴8k-24+8km-8k-6m-8mk=0， 解得：m=-4．

故存在点M（-4，0），使MF1平分∠AMB．

方法二：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，

由（I）可知：F1（-1，0），设直线AB为x=ty-1，（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

，（3t2+4）y2-6ty-9=0， 则

（每项1分）（10分） 因此，X的分布列如下： X 0 1 2 P ∴ （人）．（未化简不扣分）（12分） （或是，因为X服从超几何分布，所以 （人）． 【解析】

则y1+y2= ，y1y2=- ，

假设存在（m，0），由MF1平分∠AMB可得，kMA+kMB=0， ∴ + =0，即y1（x1-m）+y2（x1-m）=0， 即y1（ty2-1）+y2（ty1-1）-m（y1+y2）=0， ∴2ty1y2-（1+m）（y1+y2）=0，

2t×（- ）-（1-m）（ ）=0，则1+m=-3， 解得：m=-4，

故存在点M（-4，0），使MF1平分∠AMB． 【解析】

（I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．

（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是

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（I）由题意可知：4a=8，则a=2，由题意可知：tan∠AF1F2=椭圆方程；

（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，设直线l方程y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值；

方法二：设直线AB为x=ty-1，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值．

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

21.【答案】解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx

当x≥1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1- =∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的． x＜1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1- ＜0

∴f（x）在区间（0，1）减的．

故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x）min=f（1）=0 （2）当a≥1，x＞a，f（ x ）=x-a-lnx，f′（x）=1- f（x）在[a，+∞）上是递增的，

0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1- ＜0 ∴f（x）在（0，a）递减函数， 0＜a＜1，x≥a，f（x）=x-a-lnx， f′（x）=1-

=

=，即可求得b的值，求得

（1）先求出导函数fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判断函数的单调性即可；

（2）求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．

（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．

本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减．考查分类讨论的数学思想方法，函数的最值，不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化的数学思想，属于难题． 22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2=2ax （a＞0）

≥0

为参数 将直线l的参数方程

代入曲线C的直角坐标方程得：

因为交于两点，所以△＞0，即a＞0或a＜-4． 由于a＞0，

所以：a的范围为：a＞0

（Ⅱ） 设交点M，N对应的参数分别为 ， ．则 ， 若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则 解得a=1或a=-4（舍） 所以满足条件的a=1． 【解析】

，

（Ⅰ）首先把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用一元二次方程判别式求出参数a的取值范围．

（Ⅱ）直接利用参数方程中的关系式

求出a的值．

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，

f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数， 0＜x＜a 时f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1- ＜0，

∴f（x） 在 （0，a）递减函数．

当a≥1 时f（x）在[a，+∞）增函数，在（0，a）递减函数；

当0＜a＜1 时f（x）在[1，+∞），（a，1）增函数．在 （0，a）递减函数． （3）当a=1 x＞1 时x -1-lnx＞0 ∴

本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程判别式的应用，等比中项的应用．

＜

＜ =n-1-（ + +…+ ）＜n-1-（ + +…+ ）=n-1-

23.【答案】解：（1）由|x-m|＜1得-1＜x-m＜1，即m-1＜x＜m+1，

若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为 ＜x＜ ， 则（ ， ）?（m-1，m+1），

（ - + - +…+ - ）=n-1-（ - ）=【解析】

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≤m≤ 即 ，得，即，

即实数m的取值范围是 ≤m≤ ．

（2）证明：∵a，b是正数，且a+b=1，

2222

∴（ax+by）（bx+ay）=abx+（a+b）xy+aby=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy ≥ab 2xy+（a2+b2）xy =（a+b）2xy =xy，

∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立． 【解析】

（1）根据绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可． （2）展开（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性质即可得出．

本题主要考查不等式的应用和证明，利用绝对值的性质结合不等式的证明方法是解决本题的关键．

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