高考数学总复习 等比数列及其前n项和学案 理 北师大版

a1na1

∴an＝a1qn－1＝·q＝81·＝54.

qq

a12

∴＝.[10分] q3

与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，

∴a2n＝2×32n－1 (n∈N*)．[12分] 【突破思维障碍】

(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0

a1n－

函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn1＝·q (q>0且q≠1)常和指数函数相联系．(3)

qa1

整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．

1－q

a1?1－qn?n

本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q和1－q

的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．

1

1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1

na， q＝1，

??，S＝?a?1－q?

， q≠1.

?1－q?

n

1

n

2．等比数列的判定方法：

an＋1

(1)定义法：即证明＝q (q≠0，n∈N*) (q是与n值无关的常数)．

an(2)中项法：证明一个数列满足a2an＋2 (n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)． n＋1＝an·3．等比数列的性质： (1)an＝am·qn－m (n，m∈N*)；

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；

(3)设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

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