1.1两个基本计数原理(2)备课笔记

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1．1 两个基本计数原理（二）

一、教学目标

1．能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理； 2．能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题； 3．会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用． 二、教学重点

综合运用两个基本原理解决一些简单的实际问题． 三、教学难点

准确选用两种基本原理． 四、教学过程 1．复习回顾

⑴分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同

的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，?，在第n类方式中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 + m2 + ? + mn种不同的方法．

要点分析：（1）分类；（2）相互独立；（3）N = m1 + m2 + ? + mn（各类方法之和）． ⑵分步技术原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同

的方法，做第2步有m2种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 × m2 × ? × mn种不同的方法．

要点分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 × m2 × ? × mn（各步方法之积）．

⑶两种基本计数原理的区别与联系：（见下表）

2．数学运用 （1）列举法计数

例1 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软

件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3盒，磁盘至少买2盒，则不同的选购方

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式有 7 种．

注明：本题可以列树状图．

（2）合理分类，运用分类加法计数原理计数

例2 等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的不同形状的三角形的

种数为 10 种．

注明：注意到边长为正整数，周长不大于10，且任意两边之和大于第三边．按腰长分

类，再分类计数，防止重复或遗漏．

（3）巧妙分步，运用分步乘法计数原理计数

例3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田

不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（三种作物必须都种植）

注明：因有3种作物种植，需去掉只种两种作物的情况，这种情况易被忽略． 答案：42种

（4）综合运用两个计数原理

例4 现有高一年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，

他们自愿组成数学兴趣小组．

（1）选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选2人作代表发言，这2人需来自不同的组，有多少中不同的选法？ 注明：计数关键在于不重复不遗漏，我们常用分类或分步的方法将较复杂的问题分解成

若干较简单的问题．

答案：（1）24种；（2）504种；（3）191种．

例5 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？

注明：解决本题，容易得到以下错解：“分三步完成，先排首位有5种方法，再排个位

有5种方法，最后排中间两位有8×7种方法，所以共有5×5×8×7 = 1400（个）．”产生以上错解的原因是：由题意，3、5、7这三个数既可以排在首位，也可以排在个位，因而首位与个位有可能重复．实际上，当首位为3、5、7时，末位只有4种方法．因此，首位是用3、5、7，还是用4、6，影响到第二步，即填个位的方法数，遇到此类情形，则要分类处理．

答案：1232（个）． 3．随堂训练

（1）课本P9页练习1～5； （2）课本P9页习题1.1

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4．课堂总结

解决计数问题必须审清：做什么“事”？怎样才算“完成”？采用何种“方式”完

成？若采用“分类”的方式完成，则需遵循同一个分类标准，以防重漏现象的发生；若采用“分步”的方式，则需按这件事发展的连续过程分层次进行，若某一步中的每一种方法对其下一步中的方法数产生了不同的影响，则需采取先分类后分步的方式来协调． 5．布置作业

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