2019高考数学大一轮复习第三章十九函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用练习

π?π??π?6．若函数f(x)＝3sin?ωx－?(ω＞0)的最小正周期为，则f??＝________． 3?2??3?π?π??π?解析：由f(x)＝3sin?ωx－?(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4．所以f??＝33?2??3?

?ππ?sin?4×－?＝0．

33??

答案：0

π??7．已知函数f(x)＝3sin?ωx－?(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若

6??

x∈?0，?，则f(x)的值域是________．

2

??

π??

π??π?2π??π???解析：f(x)＝3sin?ωx－?＝3cos?－?ωx－??＝3cos?ωx－?，易知ω＝2，6??6?3????2?π??则f(x)＝3sin?2x－?，

6??

ππ5π?π?∵x∈?0，?，∴－≤2x－≤， 2?666?3

∴－≤f(x)≤3．

2

?3?答案：?－，3? ?2?

8．已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相π?π?邻两条对称轴之间的距离等于，则f??的值为________． 2?4?

43

解析：由角φ的终边经过点P(－4,3)，可得cos φ＝－，sin φ＝．

55

π

根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，

22ππ

可得周期为＝2×，解得ω＝2，

ω2∴f(x)＝sin(2x＋φ)，

?π??π

∴f??＝sin?＋φ?4??2

4答案：－

5

?＝cos φ＝－4． ?5?

π

9．(2017·郴州模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋(ω>0)的最小正周期为π．

3(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象； (2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？

5

π??解：(1)f(x)＝sin?ωx＋?， 3??2π

因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，

ωπ??故f(x)＝sin?2x＋?． 3??列表如下：

π2x＋ 3π 30 3 2π 2π 121 π π 30 3π 27π 12－1 2π 5π 60 7π 3π 3 2x f(x)

y＝f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

π?π?(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin?x＋?的

3?3?图象．

1?π?再将y＝sin?x＋?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数

3?2?

f(x)＝sin?2x＋?(x∈R)的图象． 3

??

π??

π

10．函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．

2(1)求φ及图中x0的值；

?1??11?(2)设g(x)＝f(x)＋f?x＋?，求函数g(x)在区间?－，?上的最大值?3??23?

6

和最小值．

解：(1)由题图得f(0)＝

33，所以cos φ＝， 22

ππ

因为0<φ<，故φ＝．

26由于f(x)的最小正周期等于2， 所以由题图可知1

7ππ13π<πx0＋<， 666

π?33?得cos?πx0＋?＝，

6?22?

由f(x0)＝

π11π5

所以πx0＋＝，x0＝．

663

π???1?π??1??(2)因为f?x＋?＝cos?π?x＋?＋?＝cos?πx＋?

2??3????3?6?＝－sin πx，

π??1??所以g(x)＝f(x)＋f?x＋?＝cos?πx＋?－sin πx

6??3??ππ

＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx

66＝

33

cos πx－sin πx 22

＝3sin?

?π－πx?．

?

?6?

ππ2π?11?当x∈?－，?时，－≤－πx≤．

663?23?1?π?所以－≤sin?－πx?≤1，

2?6?

ππ1

故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值3； 623ππ13当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－． 6632三上台阶，自主选做志在冲刺名校

π???π?1．(2016·北京高考)将函数y＝sin?2x－?图象上的点P?，t?向左平移s(s>0)个单

3???4?位长度得到点P′．若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )

1π

A．t＝，s的最小值为 26

7

B．t＝

3π，s的最小值为 26

1π

C．t＝，s的最小值为 23D．t＝

3π，s的最小值为 23

π??π??解析：选A 因为点P?，t?在函数y＝sin?2x－?的图象上，

3??4??π1?ππ?所以t＝sin?2×－?＝sin ＝．

43?62?所以P?

?π，1?． ??42?

1??π

将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′?－s，?．

2??4因为P′在函数y＝sin 2x的图象上， 1??π??1

所以sin ?2?－s??＝，即cos 2s＝，

2??4??2π5π

所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋(k∈Z)，

33π5π

即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，

66π

所以s的最小值为．

6

2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；

由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200； 由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100， 所以f(8)＝500．

8

根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π

6

，

且???

－A＋B＝100，

?A＋解得??

A＝200，

?

B＝500，

???

B＝300.

根据分析可知，当x＝2时f(x)最小， 当x＝8时f(x)最大，

故sin???2×π6＋φ???＝－1，且sin??π?8×6＋φ???

＝1．

又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π

6

．

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)＝200sin??π5π?6x－

6???

＋300． (2)由条件可知，200sin??π

?6x－5π6???＋300≥400，

化简得sin?

?πx－5π?6

6???≥12，

即2kπ＋π6≤π6x－5π6≤2kπ＋5π

6，k∈Z，

解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z．

因为x∈N*

，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10． 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．9