2019中考数学专题汇编全集 二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质

1. 已知二次函数y＝mx2－3mx－4m(m≠0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且∠ACB＝90°，则m的值可能为( )

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A. 4 B. －2 C. － D. 24

C 【解析】如解图，令y＝0，则mx2－3mx－4m＝0，解得x＝4或x＝－1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，令x＝0，则y＝－4m，∴OC＝|－4m|，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠COB＝90°，

第1题解图

OAOC1

∴△AOC∽△COB，∴＝，即OC2＝OA·OB，即16m2＝4，解得m＝±，∴m的

OCOB21

值可能为－. 2

2. 若二次函数y＝x2＋3x－c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. －3

D 【解析】∵二次函数y＝x2＋3x－c的图象与x轴没有交点，∴y＝0时，x2＋3x－c9

＝0的判别式b2－4ac<0，即b2－4ac＝9＋4c<0，解得c<－.观察选项，只有D符合．

4

3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中错误的是( ) A. abc>0 B. c>a＋b C. 4a＋2b＋c<0 D. 2a－b＋c<0

第3题图

D 【解析】A.由图象可知a<0，b<0，c>0，abc>0，故A正确；B.∵a<0，b<0，c>0，∴－a>0，－b>0，c－a－b>0，∴c>a＋b，故B正确；C.由图象知，当x＝2时，函数值小

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b

于0，即y＝4a＋2b＋c<0，故C正确；D.∵－＝ －1，∴2a－b＝0，∵c>0，∴2a－b＋c>0，

2a故D错误．

4. 设点A(－1，y1)、B(3，y2)、C(5，y3)是抛物线y＝－2x2＋x上的三点，则y1、y2、y3

的大小关系正确的是( )

A. y2>y3>y1 B. y1>y2>y3 C. y3>y2>y1 D. y1>y3>y2

B 【解析】∵点A(－1，y1)、B(3，y2)、C(5，y3)是抛物线y＝－2x2＋x上的三点，∴y1＝－2×1－1＝－3，y2＝－2×9＋3＝－15，y3＝－2×25＋5＝－45，∴y1>y2>y3.

5. 将抛物线y＝x2－2x＋1沿x轴向右平移2个单位，然后再沿y轴向下平移3个单位后所得抛物线的顶点坐标是( )

A. (1，－3) B. (－1，3) C. (3，－3) D. (－3，3)

C 【解析】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线的解析式为y＝(x－3)2－3，∴顶点坐标为(3，－3)．

1

6. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3，3)，将抛物线y＝－x2＋2x＋3沿水平方向

2或竖直方向平移，使其经过点P，则平移的最短距离为( )

3

A. 1 B. C. 5 D. 3

2

A 【解析】将抛物线沿水平方向或竖直方向平移后过点P(3，3)，当沿水平方向平移1

时，纵坐标和P点的纵坐标相同，把y＝3代入得：3＝－x2＋2x＋3，解得x1＝0，x2＝4，

2∴平移的最短距离为4－3＝1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P点的横坐标相同，把x＝1993

3代入得：y＝－×32＋2×3＋3＝，∴平移的最短距离为－3＝，即平移的最短距离为22221.

7. 关于二次函数y＝－x2＋4x＋n2－4，下列说法正确的是( ) A. 该二次函数有最大值n2－4 B. 该抛物线与x轴有两个交点

C. 该抛物线上有两个点M(x1，y1)，N(x2，y2)，若x1<24，则y1>y2 D. 当x>0时，y随x的增大而减小

4ac－b2－4（n2－4）－162

C 【解析】∵该二次函数的最大值是＝＝n，∴A选项中的

4a－4

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结论错误；令－x2＋4x＋n2－4＝0，则b2－4ac＝16＋4(n2－4)＝4n2≥0，∴当n＝0时，该抛物线与x轴只有一个交点，故B选项中的结论错误；∵该抛物线的对称轴为直线x＝2，且x1<24，∴x2－2>2－x1，又抛物线开口向下，∴y1>y2，∴C选项中的结论正确；∵该抛物线的对称轴为直线x＝2，且抛物线开口向下，∴当x>2时，y随x的增大而减小，∴D选项中的结论错误．故选C.

8. 在平面直角坐标系中，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是二次函数y＝x2＋2x－3的图象上的两点，其中－3≤x1

A. y1y2

C. y的最小值是－3 D. y的最小值是－4

D 【解析】y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，则该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－3，1，又∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴顶点坐标为(－1，－4)，对称轴为x＝－1，A、B选项中，因为无法确定点A、B离对称轴x＝－1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故选项错误；C、D选项中，∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)，∴y的最小值是－4，故D正确．

9. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0) 、B(1，t)、C(0，－1)三点，若此抛物线的顶点在第四象限，则t的取值范围是( )

A. －2

A 【解析】∵抛物线经过A(－1，0)、B(1，t)、C(0，－1)三点，∴a－b＋c＝0，c＝－1，∴a－b＝1，b＝a－1，∴t＝a＋b＋c＝a＋a－1－1＝2a－2，∵抛物线过点(－1，0)、(0，a－1b

－1)，且顶点在第四象限，∴a>0，－＝－>0，∴0

2a2a

10. 已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，顶点为点D，连接AC，DC，则∠ACD的度数为( )

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

C 【解析】令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(3，0)，令x＝0，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OA＝OC，∴∠OCA＝45°.由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，得D(1，－4)，如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE＝1，CE＝EO－CO＝1，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴∠ACD＝180°－∠OCA－∠ECD＝90°.

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第10题解图

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