专题04 导数及其应用（教学案） 2018年高考文科数学二轮复习Word版含答案（教师用）

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．

1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．

2．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有两个极值点，且x10时，f(x)的图象如图，x1为极大值点，x2为极小值点，

当a<0时，f(x)图象如图，x1为极小值点，x2为极大值点．

3．若函数y＝f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数； 若函数y＝f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数． 4．y＝ex在(0,1)处的切线方程为y＝x＋1； y＝ln x在(1,0)处的切线方程为y＝x－1. 5．不等式恒成立问题

(1) a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max； (2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min 6．不等式有解问题

(1)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；a≥f(x)有解?a≥f(x)min； (2)a＜f(x)有解?a＜f(x)max；a≤f(x)有解?a≤f(x)max. 7．常用的不等关系

(1)ex≥x＋1(x∈R) (2)x－1≥ln x(x＞0)

?0，π?? (3)ex＞ln x(x＞0) (4)tan x＞x＞sin x?x∈??2??

(5)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 8．常见构造函数

(1)xf′(x)＋f(x)联想[xf(x)]′； (2)xf′(x)－f(x)联想??

f?x??x?′；

(3)f′(x)＋f(x)联想[ef?x?]′； f?x??

(4)f′(x)－f(x)联想??ex?′； (5)f′(x)±k联想(f(x)±kx)′.

考点一 导数的几何意义及应用

例1、(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

【答案】1

x

【变式探究】 (1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【答案】1

【解析】基本法：由题意可得f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1，

又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)，

∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.

5－a速解法：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率k＝＝5－a，f′(x)＝3ax2＋1，∴5－a＝3a＋1，

1∴a＝1.

(2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 【答案】8

1

【解析】基本法：令f(x)＝x＋ln x，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋ln x在

x点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，

【方法技巧】

1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法

(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：可先求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率k，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．

2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数

已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．

【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

【答案】y＝－2x－1

【解析】令x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x， 又f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝ln x－3x(x＞0)， 1

则f′(x)＝－3(x＞0)，

x

∴f′(1)＝－2，∴y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. (2)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2 【答案】D 【解析】y′＝a－

1

，当x＝0时，y′＝a－1＝2， x＋1

B．1 D．3

∴a＝3，故选D.

(3)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

【答案】8

1

【解析】通解：令f(x)＝x＋ln x，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋ln x在点

x(1,1)

考点二 利用导数研究函数的单调性

例2、【2017课标3，文21】已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x． （1）讨论f(x)的单调性； （2）当a﹤0时，证明f(x)??3?2． 4a1)单调递增，2a【答案】（1）当a?0时， f(x)在(0,??)单调递增；当a?0时，则f(x)在(0,?在(?1,??)单调递减；（2）详见解析 2a?【解析】 （1）f（x）的定义域为（0，+?），fx???x?1??2ax?1?1?2ax?2a?1?. xx若a≥0，则当x∈（0，+?）时， fx＞0，故f（x）在（0，+?）单调递增. 若a＜0，则当x∈0,?增，在?111?时， fx＞0；当x∈?单调递，??时， f?x＜0.故f（x）在0,?2a2a2a1，??单调递减. 2a1取得最大值，最大值为 2a（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在x??111. ?ln??1?2a2a4a311311所以fx???2等价于ln??1????2，即ln???1?0.

4a2a4a4a2a2a1?设g（x）=lnx-x+1，则gx??1.

xf?