2016年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学联考高考数学四模试卷含解析

∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]， ∴m=﹣x±

，

令x=2cosθ，θ∈[0，π]， ∴m=﹣2cosθ±2sinθ =±2

sin（θ±

）∈[﹣2

，2

]， ]．

故实数m的取值范围是[﹣2，2故答案为：[﹣2，2]．

12．已知{an}为等差数列，{an+1}为等比数列，且a1=3，则an的值为 27 ．

【考点】数列的求和．

【分析】根据等差数列和等比数列的性质求出公差d=0，得到数列为常数列，即可求出前9项和．

【解答】解：由{an}为等差数列，设公差为d， ∴a2=3+d，a3=3+2d， 由{an+1}为等比数列，

∴a1+1，a2+1，a3+1为等比数列， 即4，4+d，4+2d为等比数列， ∴（4+d）2=4×（4+2d）， 解得d=0， ∴

an=9×3=27，

故答案为：27．

13．已知8a3+9a+c=0，b3﹣

﹣c=0，其中a，b，c均为非零实数，则的值为 ﹣ ．

【考点】有理数指数幂的化简求值．

【分析】化简方程可得（2a）3+32a+b3﹣3﹣b=0，从而可得（2a）3+32a=（﹣b）3+3﹣b，再由y=x3+3x在R上是增函数可得2a=﹣b，从而解得． 【解答】解：∵8a3+9a+c=0， ∴（2a）3+32a+c=0， ∵b3﹣

﹣c=0，

∴b3﹣3﹣b﹣c=0，

∴（2a）3+32a+b3﹣3﹣b=0， ∴（2a）3+32a=（﹣b）3+3﹣b， ∵y=x3+3x在R上是增函数， ∴2a=﹣b， ∴=﹣．

故答案为：﹣．

14．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=

+1 ． 对角线BD的最大值为

，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．

【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC2=4﹣2由正弦定理可得sinβ=∴BD2=3+4﹣22

cosα﹣2×

×

，

×cos（90°+β）=7﹣

cosα，

cosα+2sinα=7+2sin（α﹣45°）， ∴α=135°时，BD取得最大值+1． 故答案为： +1．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 15．已知tanα=2，cosβ=﹣（1）求cos2α的值； （2）求2α﹣β的值．

【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正切函数． 【分析】（1）由tanα=2，利用弦化切公式求得cos2α的值；

（2）由（1）中求得的cos2α，结合平方关系求得sin2α，再由已知求得sinβ，结合两角差的正弦求得sin（2α﹣β），再由2α﹣β的范围求得答案． 【解答】解：（1）∵tanα=2，∴cos2α=

；

，且a，β∈（0，π）．

（2）由已知tanα=2，α∈（0，π），可得，α∈（∴2α∈（又cosβ=﹣∴sinβ=

），则sin2α=

，且β∈（0，π），∴β∈（

=

．

， ），

），

则sin（2α﹣β）=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ=．

∵2α∈（∴2α﹣β∈（

），β∈（），

．

），则2α﹣β=

16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB=点，DE⊥PA．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDE．

，BC=1，E，F分别是AB，PC的中

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AC的中点，可得EF∥PA，即可证明EF∥平面PAD；

（Ⅱ）证明DE⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面PDE． 【解答】证明：（Ⅰ）连接EC，并延长与DA的延长线交于N，则E是AB的中点， 因为F是PC的中点，… 所以EF∥PN，

又EF?平面PAD，PN?平面PAD， 故EF∥平面PAD． …

（Ⅱ）设AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得又因为AB=所以

，BC=1，所以AC=，

，AG=AC=

．

=，

又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．

所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC． … 又DE⊥PA，PA∩AC=A，

所以DE⊥平面PAC． … 又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE． …

17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的焦距F1F2的长为2，经

过第二象限内一点P（m，n）的直线（1）求PF1+PF2的值； （2）若

?

+

=1与圆x2+y2=a2交于A，B两点，且OA=

．

=，求m，n的值．

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由OA=

，可得a=

n）．把点P（m，代入直线方程

+

=1，可得：

=1，可得点P在椭圆上，即可得出．

，c=1，可得b2=a2﹣c2=1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立

（2）由a=，

化为：（4n2+m2）x2﹣4mx+4﹣8n2=0.

﹣4x1x2=

?

=，化为2（x2﹣x1）=，即x2﹣x1=，

，把根与系数的关系代入可得：56n4+10n2m2﹣36n2﹣m4=0，又

=1，联立解出即可得出．

【解答】解：（1）∵OA=

，∴a=

+．

=1，可得：

=1，

∵把点P（m，n）代入直线方程

∴点P在椭圆上，

∴PF1+PF2=2a=2．

（2）由a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1． 设A（x1，y1），B（x2，y2）．