2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章：充要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，

?abc??abc?

∴l＝max?b，c，a?·min?b，c，a?＝1×1＝1.

?

?

?

?

∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．

?abc?c∵a≤b≤c，∴max?b，c，a?＝a.

?

?

?abc?aaaba

又∵l＝1，∴min?b，c，a?＝c，即b＝c或c＝c，

??

得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．

∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]

3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.

4±16－4m

3或4 [x＝＝2±4－m，因为x是整数，即2±4－m为整数，

2所以4－m为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题

意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]

1

4．设p：2≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．

1??

?0，2? [因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件， ??

?a≤1

2，

所以?

?a＋1≥1，

1

解得0≤a≤2.] 5．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．

[解] “a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条

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件．理由如下：

当a，b，c∈R，a≠0时，

若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，

故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件， 若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”， 故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件， 综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.

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