第一讲 - - 数列的概念与简单表示法导学案

于 .

（3）已知数列{an}中，a1?1,an?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1，则an? 。

（4）数列{an}的前n项和为Sn?2n,已知a1?1,an?1?nSn(n?N*) ①证明{Snn}是等比数列； ②求数列通项.

（5）（全国二20）．（本小题满分12分）设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，

ann?1?Sn?3，n?N*．

（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式；（Ⅱ）若an?1≥an，n?N*，求a的

取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，Snnn?1?Sn?an?1?Sn?3，即Sn?1?2Sn?3，

由此得S1n?1?3n??2(Sn?3n)． ·

············································································· 4分 因此，所求通项公式为bS1*n?n?3n?(a?3)2n?，n?N．① ···························· 6分

（Ⅱ）由①知Snn?1*n?3?(a?3)2，n?N，

于

是

，

当

n≥2时

，

a?3?1?n?nn??1?Snn?a??S(n??a?3?1?2?n3)n?1?(a?3)2n2?2， 3an?1?2?n?1?an?4?3?(a?3)2n?2?2n12???3?n?2???2???a?3?， ???n?2当n≥2时，a12??3?n?1≥an??2???a?3≥0?a≥?9．

又a2?a1?3?a1．

综上，所求的a的取值范围是??9，???． 。 练习3：（1）已知数列｛a2n?1n｝的前n项和Sn?2，则a16?a17?a18＝ ；

（2）数列｛a1n｝满足a1?，a221?a2?......?an?nan则 an＝ ；

（3）在正项数列{an}中，已知an?2Sn?1，则an? ；

例4、已知数列?a1?n?的各项均为正数，且a1?1，Sn?2??a1?? ，求a?n?an． n??

分析 由an与Sn的关系式把已知等式转化为Sn的递推关系式．

点评：利用an与Sn的关系求通项是本节重点，也是高考中的热点，应牢固掌握，熟练运用．

小结：

作业布置： 必做：

选做：

探究：

板书：

教学后记：

数列的概念（第四课时）

教学目的：

知识与技能：理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；

过程与方法：了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意

一项；

情感态度与价值观：知道递推公式是给出数列的一种重要方法，会根据数列的递推公式写出数

列的前几项．

教学重点：数列的概念及数列的通项公式。

教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。 教学过程：

题型4：数列的增、减性及最值问题． 单调性：用an?1与an的大小来确定；也可借助函数性质、图像，但又要注意与常见函数的区别。

例5：（1）已知数列{an}的通项公式

a9n?(10)n(n?1)

①讨论an与an?1的大小； ②求{an}的最大值。

（2）设数列{an}的通项公式为an?n2?kn,且为递增数列，则实数k的取值范围是 ；

（3）设数列{an}的通项公式为an?n2?kn,且为递增数列，则实数k的取值范围是 ；

（4）（全国一22）．设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)．

（Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：an?an?1?1；

解析：（Ⅰ）证明：f(x)?x?xlnx，f'?x???lnx,当x??0,1?时，f'?x???lnx?0 （2）设f(x)?log2x?logx4 (0

a(n∈N)，问：?an?有没有最小的项?若有请求出，若没有请说明理由．

*

分析 数列的实质是一种特殊的函数，故可以研究数列的单调性，并可以利用数列的单调

性求其通项的最值．

故函数f?x?在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0?a1?1，a1lna1?0，a2?f(a1)?a1?a1lna1?a1 由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且函数f(x)在x?1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增函数，a2?f(a1)?a1?a1lna1?1，即a1?a2?1成立；

（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1

那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得 f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，

ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立.

（5）数列{an?46n}中，an?n?98（n?N*）则此数列的最大项为 ；最小项为 ；

练习4：（1）已知数列{a?n}中an?sin(6n)，则数列{an}的前2008项和为 ；

小结：

作业布置： 必做：

选做：

探究：

板书：

教学后记：

第二讲：等差数列与等比数列

《第一课时》 教学目的：

知识与技能：理解等差数列的概念，

过程与方法：掌握等差数列的通项公式与前n项和公式， 情感态度与价值观：并能运用公式解决简单的实际问题．

教学重点：等差数列的通项公式和前n项和公式，运用公式解决相关问题。教学难点：函数与方程的思想及等价转化的思想。

考点分析及学法指导：高考中本部分是出题热点之一，不仅在选择填空题中，而且在解答题中也经常涉及．主要考点是：(1)证明一个数列是等差数列；(2)量a1，an，n，d，Sn 的互求，“知三求二”；(3)等差数列性质的应用；(4)等差数列的综合题；(5)等差数列的应用题等．

教学过程：

一、知识点复习：

1、相关知识：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，一般形式为?an?：a1，a1?d，a1?2d，?或an?an?1?d。

当d＞0时，?an?为递减数列； 当d＜0时，?an?为递增数列； 当d＝0时，?an?为常数列。

2、通项公式：an?a1?(n?1)d，或an?am?(n?m)d(m,n?N?)

3、前n项和公式：Sn(a1?a2)n(n?1n?2?na)1?2d 4、主要性质：

（1） 等差中项：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项,A?a?b2； （2） 若公差d≠0，则am?an?ap?aq?m?n?p?q；特别地

当m?n?2p时，有am?an?2ap

（3） 等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列。即若m?N?，Sm，

S2m?Sm，S3m?S2m，?依然成等差数列。

（4） 在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是

等差数列． （5） 若数列?an?与?bn?均为等差数列，则?man?kbn?仍为等差数列，其中m，k均为

常数．