立体几何证明平行的方法及专题训练

立体几何证明平行的方法及专题训练

罗虎胜----------szdsgz@sina.cn

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

P分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

F DAE

CB

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3， 过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使

得DE⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD； 分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

D EFDC

GF CGE

ABAB1

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点， M为BE的中点, AC⊥BE. 求证：

B1（Ⅰ）C1D⊥BC； （Ⅱ）C1D∥平面B1FM.

分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

B

C1EMCFA1DA4、如图所示, 四棱锥P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：法一：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线 法二：证平面EGF∥平面ABC，从而AM∥平面EFG

6、如图，直三棱柱ABC?A/B/C/，?BAC?90，

A E B G M F C D AB?AC?2,AA′=1，点M，N分别为A/B和B/C/的中点。

2

证明：MN∥平面A/ACC/;

分析：连结AC1，则MN是△A1BC1的中位线

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点. 求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明: BC1//平面A1CD;

分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，则DF//BC1

9、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

分析：连结AC交BD于O点，连结OM，易证OM∥PA 从而PA∥平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP∥GH.

，

则

，

（.3）

利用平行四边形的性质

10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

3

11、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

1DC，E为PD中点. A 2E B P D 求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

C 12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，?ACB?90?， 所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG. 由于AB=2EF，因此，BC=2FC， 连接AF，由于FG//BC，FG?1BC 2在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且

AM?1BC 2因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。 又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM//平面ABFE。

(4)利用对应线段成比例

13、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别 是SA、BD上的点，

AMBN=， 求证：MN∥平面SDC SMNDAMDN?（2）, 求证：MN∥平面SBC SMBN（1）

分析：法一：过M作ME//AD，过N作NF//AD

利用相似比易证MNFE是平行四边形

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