2012年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数与方程

（1）当m为何值时，f(x)?0；

（2）定理：若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点

x0?(a,b)，使得g(x0)?0

?m2m试用上述定理证明：当整数m?1时，方程f(x)?0在??e?m,e?m??内有两个实

根。

解析：（1）函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且

f'(x)?1?1,令f'(x)?0,得x?1?m x?m当x∈(－m,1－m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m) 当x∈(1－m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m) 根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且 对x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1－m≥0

(2)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0, 函数f(x)=x－ln(x+m),在[e?m?m,1?m] 上为连续减函数.

f(e?m?m)?e?m?m?ln(e?m?m?m)?e?m?0当整数m?1时,f(e?m?m)与f(1?m)异号,?m由所给定理知，存在唯一的x1?(e而当整数m>1时，

?m,1?m),使f(x1)?0

2m(2m?1)?3m?0 2(?m?1?2m?1?1,上述不等式也可用数学归纳法证明)f(e2m?m)?e2m?3m?(1?1)2m?3m?1?2m?类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在[1?m,e?m?m] 上为连续增函数且 f(1-m)

2m?m与f(e?m)异号，由所给定理知，存在唯一的x2?[1?m,e?m,],使f(x2)?0

故当m>1时，方程f(x)=0在[e?m?m,e2m?m]内有两个实根

点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。

例4．若函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A．若f(a)f(b)?0，不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；

B．若f(a)f(b)?0，存在且只存在一个实数c?(a,b)使得f(c)?0；

精选

C．若f(a)f(b)?0，有可能存在实数c?(a,b)使得f(c)?0； D．若f(a)f(b)?0，有可能不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；

解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“f(x)?x(x?1)(x?1)在区间[?2,2]上满足f(?2)f(2)?0，但其存在三个解{?1,0,1}”推翻；同时选项A可通过反例“f(x)?(x?1)(x?1)在区间[?2,2]上满足f(?2)f(2)?0，但其存在两个解{?1,1}”；选项D正确，见实例“f(x)?x?1在区间[?2,2]上满足

2f(?2)f(2)?0，但其不存在实数解”

点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型3：二分法的概念

例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y?f(x)在[a,b]内的所有零点得到； B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y?f(x)在[a,b]内的零点； C．应用“二分法”求方程的近似解，y?f(x)在[a,b]内有可能无零点； D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)?0在[a,b]内的精确解；

解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。

点评：该题深入解析了二分法的思想方法 1.（2009福建卷文）若函数f?x?的零点与g?x??4?2x?2的零点之差的绝对值不超过

x0.25， 则f?x?可以是

A. f?x??4x?1 B. f?x??(x?1)

2xC. f?x??e?1 D. f?x??In?x???1?? 2?答案 A

解析 f?x??4x?1的零点为x=点为x=0, f?x??In?x?12x,f?x??(x?1)的零点为x=1, f?x??e?1的零4??1?3x的零点为x=.现在我们来估算gx?4?2x?2的零???2?2精选

点，因为g(0)= -1,g(

11)=1,所以g(x)的零点x?(0, ),又函数f?x?的零点与22g?x??4x?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f?x??4x?1的零点适合，

故选A。

题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例7．借助计算器，用二分法求出ln(2x?6)?2?3在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。

解析：原方程即ln(2x?6)?3?2?0。 令f(x)?ln(2x?6)?3?2， 用计算器做出如下对应值表

x f(x) －2 2.5820 －1 3.0530 0 27918 1 1.0794 2 －4.6974 xxx观察上表，可知零点在（1，2）内

取区间中点x1=1.5，且f(1.5)??1.00，从而，可知零点在（1，1.5）内； 再取区间中点x2=1.25，且f(1.25)?0.20，从而，可知零点在（1.25，1.5）内； 同理取区间中点x3=1.375，且f(1.375)?0，从而，可知零点在（1.25，1.375）内； 由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。

点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。

例8．借助计算器或计算机用二分法求方程2?3x?7的近似解（精确到0.1）。 分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？

略解：图象在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在(a，b)上至多有一个零点。 点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下： 零点所在区间 [1，2] [1，1.5] 中点函数值 区间长度 1 0.5 xf(1.5)>0 f(1.25)<0 精选

[1.25，1.5] f(1.375)<0 0.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。 题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点

例9． 设二次函数，方程的两个根满足0?x1?x2?证明：由题意可知

1. 当时，证明。 af(x)?x?a(x?x1)(x?x2)，

?0?x?x1?x2?1, a∴ a(x?x1)(x?x2)?0, ∴ 当时，f(x)?x。

又f(x)?x1?a(x?x1)(x?x2)?x?x1?(x?x1)(ax?ax2?1), x?x1?0,∴ f(x)?x1,

综上可知，所给问题获证。

点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f?x??x的表达式，从而得到函数f(x)的表达式

例10．已知二次函数f(x)?ax?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程f(x)?x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1?2?x2?4，设函数f(x)的对称轴为x?x0，求证：x0??1； （2）如果x1?2，x2?x1?2，求b的取值范围.

解析：设g(x)?f(x)?x?ax?(b?1)x?1，则g(x)?0的二根为x1和x2。

22且ax?ax2?1?1?ax2?0,

?4a?2b?1?0?g(2)?0（1）由a?0及x1?2?x2?4，可得 ?，即?，

16a?4b?3?0g(4)?0??b3?3?3???0,??2a4a即?

b3??4?2???0,?2a4a?精选