2012年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版） - 函数与方程

2012年高考数学一轮复习精品学案

2012年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）---函数与方程

一．【课标要求】

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．【命题走向】

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关

预计2012年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．【要点精讲】

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数

y?f(x)(x?D)的零点。

函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。

二次函数y?ax?bx?c(a?0)的零点：

１）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并

2222精选

且有f(a)f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c?(a,b)，使得

f(c)?0，这个c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度?，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)?0，给定精度?； （2）求区间(a，b)的中点x1； （3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0?(a,x1)）； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0?(x1,b)）； （4）判断是否达到精度?；

即若|a?b|??，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)?0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； 若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)?0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。

（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=

1 (p+q)。 2精选

b

2a2abb若x0≤－

2a2ab若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

2a（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小?a·f(r)<0；

若－

???b2?4ac?0,??b②二次方程f(x)=0的两根都大于r??? ?r,2a?a?f(r)?0?????b2?4ac?0,?b??q,?p??③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根?? 2a?a?f(q)?0,???a?f(p)?0;④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根?f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检

验)检验另一根若在(p，q)内成立。

四．【典例解析】

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）设a为常数，试讨论方程lg(x?1)?lg(3?x)?lg(a?x)的实根的个数。 解析： （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标x0，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还

321y是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较x0与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2，3)，故本题应选C。

o12x03x?x?1?0?3?x?0?（2）原方程等价于?

?a?x?0??(x?1)(3?x)?a?xY432101Xy?a精选

x?52234?a??x2?5x?3即? ?1?x?3构造函数y??x?5x?3(1?x?3)和y?a，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：

①当1?a?3或a?②当3?a?213时，原方程有一解； 413时，原方程有两解； 413时，原方程无解

③当a?1或a?4点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例2．（2008湖南理17） 已知函数f(x)?cos2xx?sin2?sinx. 22（I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）当x0?(0,?4)且f(x0)?42?时，求f(x0?)的值 56解：由题设有f(x)?cosx?sinx?π2sin(x?)．

4（I）函数f(x)的最小正周期是T?2π.

（II）由f(x0)?42π42π4,即sin(x0?)?, 得2sin(x0?)?54545 因为x0?(0,?ππ?),所以x0??(,). 4442ππ43)?1?sin2(x0?)?1?()2?. 4455从而cos(x0?于是f(x0?π?π??)?2sin[(x0?)?]

64646π?π??2[sin(x0?)cos?cos(x0?)sin]

4646?)?2sin(x0?

题型2：零点存在性定理

例3．设函数f(x)?x?ln(x?m)，其中常数m为整数。

精选