二次根式的运算知识易错点剖析

二次根式运算中的易错点示例

一 、二次根式化简不彻底 例 1 计算:20?5?0.2. 错解:原式=25?5?0.2?5?0.2. 5错解分析:二次根式结果中,被开方数不含有分母,0.2应看成分数1. 正解:原式 =25?5?156?25?5??5. 555点拨：二次根式的结果中若被开方数是分式或分数(包括小数)一定要化简 , 然后再进行同类二次根式的合并. 二、二次根式化简不正确 例 2 计算:?1.6?40?25 . 错解:原式=?0.4?210?10??0.4?1110. 55错解分析:1.6?0.4. 正解:原式 =?2510?210?109?10. 55例 3 计算：错解:原式=错解分析:14?8?18 . 2114?22?32?4?2?22?32?2. 22411193?4?2，应是4??2. 2222222?22?32?2. 21111???,4923正解:原式 ?3点拨：化简过程中,还容易出现以下错误: 等 .

三、合并同类二次根式错误 例 4 计算:

1?42，2?(?3)2??3288a?a11?12a?50a. 2221

错解:原式 =22a?152a?3a?2a=3a?2a?22a. 错解分析:3a与2a不是同类二次根式,其被开方数不相同,故不能合并. 正解:原式=22a?152a?3a?2a?3a?2a. 223?2?5 ,3?2?1.

点拨：有时在计算过程中会出现这样的错误:四、运算定律误用 例 5 计算:3?3?1. 3错解:原式=3÷1=3. 错解分析:3?3?合运算中. 正解:原式=3?11?1. 33?1=(3?3)?1?3?(3?1).该错解把乘法的结合律误用到乘除混333五、忽略根式中或已知中隐含条件，导致错误 例6 如果b＜0，那么二次根式（A）

b化简为（ ） a?ababab?ab （B）- （C） （D）?

aaaa错解：选A.原式=

abab. ?2aa错解分析:本题二次根式

b中隐含了ɑ＜0的条件，上述解答忽略了这个隐含条a件，误认为ɑ＞0，因而出现错误． 正解：选B．因为=

bb有意义，所以≥0．又b＜0，所以ɑ＜0．原式

aaababab， ???2aaa所以结果选B．

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a2?2a?1a2?2a?1例7 已知a?,求式子的值． ?2a?1a?a2?312?a?1?错解：原式=

a?1??a?1?2a?1=a?1? a?a?1?a?a?1?=a?1?=

1a12?3?1?2?3=?1?23．

??错解分析:已知条件中a?12?3隐含了a?12?3=2?3＜1，

因而a2?2a?1??a?1?2?a?1?1?a,上述解答认为ɑ-1＞0，因而出现错误．

2?a?1?正解：原式=

a?1??a?1?211?a1=a?1?=ɑ?1?=

a2?a?a?1?a?a?1?3?1?2?3=3．

??例8 把?a?1?11中的ɑ-1移到根号内，则?a?1?= ． 1?a1?a1?1?a． 1?a1中隐含了1-ɑ＞0的条件，因而ɑ-1＜0．逆用公式1?a错解：原式=?a?1?2错解分析:二次根式

a2?a时，应特别注意，是将根号外的非负因式（数）移入根号内．

正解：原式=??1?a?答案：?1?a

1=?1?a?1?a?21=?1?a． 1?a六、忽略对字母的讨论，导致错误 例9 当m，n为何值时，m2n有意义？

错解：因为m2n=mn，所以要使原式有意义，只要n有意义．

错解分析:尽管化简m2n=mn，但是原式中m，n取值范围与变形后的式子中m，

n取值范围是有区别的．上述解答中忽略了对字母m的取值的讨论，而去求化简

后式子中m，n的取值范围，因而导致错误．

正解：要使m2n有意义，必须m2n≥0，当m≠0时，则m2＞0，所以n≥0.

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当m=0时，则m2n=0，所以n可以为任意实数． 例10 化简a2?1?2（ɑ＜1且ɑ≠0）. 2a21?1错解：原式=??a??=a?．

aa??错解分析:本题中虽然给出了字母ɑ＜1且ɑ≠0的条件，但ɑ与的大小关系不确定．上述解答忽略了对字母ɑ的讨论，认为a?＞0，因而导致错误．所以解答本题的关键是对字母ɑ进行分类讨论．

1?1正解：原式=??a???a?．

a?a?21a1a（1）当0＜ɑ＜1时，a?＜0，原式=a?1a1a11??a； aa11?a?；

aa（2）当-1＜ɑ＜0时，a?＞0，原式=a?（3）当ɑ≤-1时，a?≤0，原式=a?1a11??a． aa11??a；当-1＜ɑaa综合（1）（2）（3）可知当0＜ɑ＜1或ɑ≤-1时，原式=a?＜0时，原式=a?11?a?．

aa七、运用公式a2=|ɑ|不当，导致错误

例11 计算或化简：(1)(?7)2； (2)a?（ɑ＜0）. 错解：(1) (?7)2=7；?aa?aa???a. ?a??22aaa1a（2）原式=a?分析：公式a2?a中，a2表示ɑ2的算术平方根，因而是一个非负数，运用此公式将根号内的ɑ移到根号外时，一定要加绝对值符号，保证其为非负数，应特别注意．

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