第2章 质点动力学

第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院

第二章 质点动力学

§2-1牛顿运动定律 力

17世纪，近代科学的先驱者伽利略2-0-1伽利略简介.doc首创用实验方法研究力学问题2-0-1 伽里略实验-两个球落地.swf，2-0-2 用实验方法研究力学问题.doc，后来，牛顿2-0-3 牛顿简介.doc对机械运动的规律作了审慎而又深入的研究，根据伽利略的上述思想和当时对某些力学规律的认识，总结成第一和第二定律。在惠更斯2-0-4 惠更斯简介.doc研究物体弹性碰撞的基础上，牛顿又提出表述作用力与反作用力关系的第三定律。最后在1686年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中发表了这三条定律。

一、牛顿运动定律

1、牛顿第一定律

任何物体都要保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止，这就是牛顿第一定律。牛顿第一定律的数学形式表示为：

F?0时，v?恒矢量 （2-1）

这个定律表明, 任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这就是说, 保持静止状态或匀速直线运动状态, 是物体所具有的一种固有特性。这个性质叫做惯性。因此牛顿第一定律也称为惯性定律。

第一定律表明，要使物体运动状态发生变化，一定要有其他物体对它作用，这种作用被称之为力。由第一定律我们知道，力是使物体运动发生变化的原因，而物体的惯性则反映了物体改变运动状态的难易程度。这两者都对物体运动状态的变化发挥作用。

牛顿第一定律给出了关于力的科学涵义, 认为物体所受的力是外界对它的作用, 作用的效果是使该物体改变运动状态, 产生加速度。牛顿运动定律的确立, 是与对力的这种认识联系在一起的。因此, 正确理解力的概念也是学习和掌握牛顿运动定律的关键。

说明：①反映物体的惯性，故叫做惯性定律。2-1-1 牛顿第一定律.doc

②给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。

2、牛顿第二定律 2-1-2牛顿第二定律演示.swf

??物体运动时总具有速度，质点的质量m与其速度v的乘积称为质点的动量，记为P。

??即 P?mv （2-2）

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动量P显然也是一个矢量，其方向与速度v的方向相同。同速度可表示物体运动状态一样，动量也是表述物体运动状态的量，但动量较之速度其涵义更为广泛，意义更为重要。

????v说明：①P是矢量，方向与相同 ②P是瞬时量 ③P是相对量

④坐标和动量是描述物体状态的参量

当外力作用于物体时，其动量发生改变，牛顿第二定律阐明了作用于物体的外力与物体的动量变化的关系。

牛顿第二定律表明，动量为p的物体，在合外力F的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用物体的合外力，即 F?dp （2-3a） dt当物体在低速情况下运动时，即物体的运动速率v远小于光速c(v<

F?mdv （2-3b） dt或 F?ma （2-3c） 式(2-3b)在直角坐标系中也可写成

F?mdvdvdvdv?mxi?myj?mzk dtdtdtdt即 F?maxi?mayj?mazk （2-3d） 式(2-3)是牛顿第二定律的数学表达式，又称牛顿力学的质点动力学方程。

牛顿第二定律是牛顿力学的核心，应用它解决问题时必须注意以下几点。 (1)

牛顿第二定律只适用于质点的运动，物体作平动时，物体上各质点的运动情况完全相同，所以物体的运动可看作是质点的运动，此时这个质点的质量就是整个物体的质量，以后如不特别指明，在论及物体的平动时，都是把物体当作质点来处理的。 (2)

牛顿第二定律所表达的规律是质点所受合力、自身质量以及它所获得的加速度三者之间的瞬时关系。也就是说，质点的加速度只在外力有作用时才产生，外力改变了，加速度也随之改变。如果在某一瞬间质点失去了力的作用, 则就在这一瞬间质点也失去了加速度。此后, 质点将以该瞬间的速度作匀速直线运

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动。

(3)

力的叠加原理。 当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度a，与每个外力Fi所产生加速度ai的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理

牛顿第二定律定量地描述了力的效果, 即确定了质点所受合力与它所获得的加速度之间的量值关系, 从而对质点运动状态变化的原因作出了定量的解释和分析。无论质点作直线运动还是作曲线运动, 无论质点作加速运动还是作减速运动, 甚至静止不动, 我们都可以根据牛顿第二定律, 由力对质点作用的具体情形得出定量的结论。

当质点在平面上作曲线运动时，我们可取图2-1所示的自然坐标系，et和en分别为切向单位矢量和法向单位矢量，于是质点在点A的加速度a在自然坐标系的两个相互垂直方向上的分矢

图 2-1

量为at和an，这样，质点在平面上作曲线运动时，在自然坐标系中牛顿第二定律写成

dvv2 F?ma?m(at?an)?met?men （2-5a）

dt?如以Ft和Fn代表合外力F在切向和法向的分矢量，则有

dv?F?ma?mettt?dt? （2-5b） ?2v?Fn?man?men???式中Ft做切向力，Fn做法向力（或向心力）；at和an相应地叫做切向加速度和法向加速度。

?F说明：①为合力 2-1-2牛顿第二定律.doc ??F?ma②为瞬时关系 ③矢量关系 ④只适应于质点

⑤解题时常写成

?v2?Fx?max??????Fn?man?mr（法向）F?ma??Fy?may （直角）F?ma?? （自然）

dv?F?ma?Ft?mat?m（切向）z?zdt?3、牛顿第三定律 2-1-3牛顿第三定律演示.swf

两个物体之间的作用力F1和反作用力F'1，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别

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作用在两物体上，这就是牛顿第三定律，其数学表达式为

?? F1??F'1 （2-6） 牛顿第三定律告诉我们, 物体之间的作用总是相互的, 我们常把其中的一个力称为作用力, 而把另一个力称为反作用力。作用力和反作用力总是成对出现的, 并且同时产生, 同时消失。它们中的任何一个都不可能离开对方而独立存在, 任何单个力仅是两个物体间相互作用的一个方面。

牛顿第三定律表明, 作用力和反作用力是同时产生、同时消灭、分别作用在两个物体上的属于同种性质的力。因而不可能互相抵消。明确这一点, 可以帮助我们分析成对的作用力和反作用力。

?说明：①F1、F'1在同一直线上，但作用在不同物体上。

?②F1、F'1同有同无互不抵消。 二、几种常见的力

1、力

在牛顿第一定律中包含了一个重要结论: 物体在力的作用下所发生的运动状态的任何变化, 都要使它获得加速度。所以说, 力是指物体间的相互作用,是物体获得加速度（运动状态变化）的原因。牛顿运动定律的确立, 是与对力的这种认识联系在一起的。因此, 正确理解力的概念也是学习和掌握牛顿运动定律的关键。在动力学中，分析物体受力情况是十分重要的。下面介绍力学中常见的力：弹性力、摩擦力、万有引力等，它们分属不同性质的力，弹性力和摩擦力属接触力，而万有引力属场力。

2、力学中常见的力

（1）万有引力 2-1-4 万有引力定律.swf

宇宙中的一切物体都在相互吸引着。牛顿继承了前人的研究成果，提出了著名的万有引力定律。这个定律指出，星体之间2-1-5 九大行星.swf，地球与地球表面附近的物体之间，以及所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的力，所有这些力都遵循同一规律，这种相互吸引力叫做万有引力。如：地球和其他行星绕太阳的运动；月亮和人造地球卫星绕地球的运动; 上抛的物体若没有别的物体托住, 总要落回地面。这些现象都是物体之间存在吸引力的表现, 这种吸引力就是万有引力。

万有引力定律可表达为：在两个相距为r，质量为m1、m2的质点间有万有引力，其