《常微分方程》期末模拟试题

解：设曲线方程为y?y(x)，切点为(x,y)，切点到点(1,0)的连线的斜率为

yx?1，

?'y??1?yx?1???y(0)?02则由题意可得如下初值问题： ，

分离变量，积分并整理后可得y代入初始条件可得C?1， 因此得所求曲线为(x?1)

11、（12分） 在方程

dy?f(y)?(y)dx2??(x?1)2?C?y2?1.

中，已知f(y)，??(x)在(??,??)0上连续，且?(?1)?0．求证：对任意x和y000?1，满足初

值条件y(x)?y的解y(x)的存在区间必为(??,??)． 证明：由已知条件可知，该方程在整个xoy平面上满足解

的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解

y?k?,k?0,?1,?2,?．

00 对平面内任一点(x,y)，若yy?k?0?k?，则过该点的解是

，显然是在(??,??)上有定义．

0 若y展；

?k?,则y0?(k?,(k?1)?),记过该点的解为y?y(x)，

那么一方面解y?y(x)可以向平面的无穷远无限延另一方面在条形区域{(x,y)???x???,k??y?(k?1)?}内y(x)不能上、下穿过解y?(k?1)?和y?k?，否则与解的惟一性矛盾．

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因此解的存在区间必为(??,??)．

12、（10分）设

y??1(x),y??2(x)是方程

y\?q(x)y?0的任意两个解，

求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数. 证明：由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一性及解的延展定理条件.

显然y??1是方程的两个常数解. 任取初值(x,y)，其中x?(??,??)，|y0000|?1，记过该点的

解为y?y(x)，

由上面分析可知，一方面y?y(x)可以向平面无穷处

无限延展；

另一方面又上方不能穿过y?1，下方不能穿过y??1，

否则与唯一性矛盾，

故该解的存在区间必为(??,??).

13、（12分）试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、

N试同齐次函数，且xM+yN0,则

?

1(xM?yN)是该方程的

一个积分因子。

证明：如M、N都是n次齐次函数，

则因为xM+yM=nM，xN+yN=nN，

xyxy?M?N?故有?yxM?yN?xxM?yN=

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My(xM?yN)?M(xMy?N?yNy)(xM?yN)2?Nx(xM?yN)?N(xMx?M?yNx)(xM?yN)2

＝?M(xNx?yN)?N(xMx?yNy)

(xM?yN)2＝

?M(nN)?N(nM)(xM?yN)2=0.

故命题成立。 15