《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案

一、填空题（每个空格4分，共80分）

1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程

dy?2xdx的通解为 y?x2?C（C为任意常

y?x2?130数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 与直线y=2x+3相切的解是 的解为 y?x2 ，

y?x2?4 ，满足条件?ydx?3?2 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程

dy?(x?y)2dx作变换 u?x?y ，可将其化为变量可

?分离方程，其通解为 y?tan(x?C)?x 。 5、方程

dy?1?y2dx''2过点

(,1)2共有 无数 个解。

x4x2y???C1x?C21226、方程y?x?1的通解为 条件y|7、方程

x?1 ，满足初始 。

?2,y|x?3?5的特解为

x4x219y???x?12264dy?dxy?x?x 无 奇解。

可化为一阶线性微分方程组 8、微分方程

?dy?z??dx??dz?z?6y??dxd2ydy??6y?0dx2dx 。

2

9、方程10、

dy?dxy的奇解是 y=0 。 是 3 阶常微分方程。

满足解得存在唯一性定理条件的区域是

d3y5dy?2x?3dx3dx11、方程

xoy平面dy?x2?y2dx 。

d2ydy?4?5y?0dx2dx12、微分方程通解为

y?C1e5x?C2e?x ，该方程

可化为一阶线性微分方程组

?dy?z??dx??dz?4z?5y??dx1 。

213、二阶线性齐次微分方程的两个解y??(x),y??(x)成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设

?e?2t?(t)???2t??e?13?A????42?dX?AXdt，则线性微分方程组有基解矩阵

3e5t??4e5t? 。

二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、(x?2y)dx?xdy?0 答案：方程化为

令

y?xudyy?1?2dxx

，代入上式，得

2，则

dydu?u?xdxdxxdu?1?udx

分离变量，积分，通解为u?Cx?1 ∴ 原方程通解为y?Cx?x

3

2、

?dx?x?y??dt??dy?4x?y??dt

1??4??1答案：特征方程为 A??E?特征根为 ?111???0即?2?2??3?0。

?3，?2

?1?31??a1??0??41?3??b???0????1???对应特征向量应满足

?a1??1??b???2??1???可确定出

?a2??1????1????2? 同样可算出2对应的特征向量为?b?2???∴ 原方程组的通解为 3、

dy?3y?e2xdx?e3t??e?t??x??y??C1?3t??C2??t?2e?2e?????? 。

?3x?3x5x答案：齐次方程的通解为y?Ce

1C(x)?e?C y?C(x)e令非齐次方程的特解为51y?Ce代入原方程，确定出原方程的通解为+5e

?3x2x 4、答案：

dy?2x?ydxdy?2x?ydx；

是一个变量分离方程

yxy 变量分离得2dy?2dx 两边同时积分得2

4

?2x?c（其中c为任意常数）