2020高考数学之函数零点问题《06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦》(解析版)

高考数学函数零点问题

专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.

【典型例题】

类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I卷】已知函数点，则a的取值范围是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数

的图像，

在y轴右侧的去掉，再画出直线

，之后上下移动，可以发现当直线过

．若g（x）存在2个零

点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程

有两个解，也就是函数

有两个零点，此时满足

，即

，故选C.

例2.【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若

，证明：当

时，

；

．

（2）若在只有一个零点，求．

【答案】（1）见解析（2） 【解析】 （1）当设函数当而

时，，故当

，所以时，

．

只有一个零点当且仅当时，时，时，在

；当

单调递减，在是，即，即，即

在，，，

在

只有一个零点．

时，

等价于，则在

，即

单调递减．

．

．

．

（2）设函数

在（i）当（ii）当当所以故①若②若③若

没有零点；

． 时，单调递增． 的最小值． 在在

没有零点； 只有一个零点； ，所以，所以

在

有两个零点． ．

在

有一个零点，

．

．

，由于时，

由（1）知，当故

在

在

有一个零点，因此

综上，只有一个零点时，

类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II文】已知函数（1）若（2）证明：

，求

的单调区间；

．

只有一个零点．

），（

，+∞）单调递增，在（

，

）单调递减．

【答案】（1）f（x）在（–∞，（2）f（x）只有一个零点．

【解析】

（1）当a=3时，（fx）=x∈（–∞，f（x）在（–∞，（2）由于

）∪（

），（，所以

，f （′x）=

．令f （′x）=0解得x=

，，．

或x=

．当

，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（，+∞）单调递增，在（

等价于

）时，f ′（x）<0．故）单调递减．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调

递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又f（3a–1）=

综上，f（x）只有一个零点．

类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式

例4.【2017课标II，理】已知函数f?x??ax?ax?xlnx，且f?x??0.

2，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

(1)求a；

(2)证明：f?x?存在唯一的极大值点x0，且e【答案】(1)a?1；(2)证明略. 【解析】

?2?f?x0??2?2.