导数习题分类精选 - 2

导数习题分类精选 2

?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?

设h?x??x2?(2x2?2x)ln?1?x?(x??12)， 则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x?

⑴当x?(?12,0)时，h??x??0,?h(x)在[?12,0)单调递增； ⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。

?当x?(?12,0)时,h?x??h(?11?2ln22)?4

故f?x1?2In22??h(x2)?4．

已知函数f(x)?x，g(x)?ln(1?x)，h(x)?x1?x. （1）证明：当x?0时，恒有f(x)?g(x);

（2）当x?0时，不等式g(x)?kxk?x(k?0)恒成立，求实数k的取值范围; 解：（1）设F(x)?f(x)?g(x)，则F'(x)=1?11?x?x1?x ， 当x?0时，F'(x)?0，所以函数F(x)在（0，??)单调递增，又F(x)

在x?0处连续，所以F(x)?F(0)?0，即f(x)?g(x)?0，

所以

f(x)?g(x)。

（2）设G(x)?g(x)?kxk?x， 则G(x)在（0，??)恒大于0，G(x)?ln(?k?k21?x)k?x，

G'(x)?1k2x2?(2k?k2)x1?x?(k?x)2?(1?x)(k?x)2， x2?(2k?k2)x?0的根为0和k2?2k,

即在区间（0，??)上，G'(x)?0的根为0和k2?2k,

若k2?2k?0，则G(x)在(0,k2?2k)单调递减， 且G(0)?0，与G(x)在（0，??) 恒大于0矛盾；

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若k且G(0)

2?2k?0，G(x)在（0，??)单调递增，

?0，满足题设条件，所以k2?2k?0，所以0?k?2.。

1x?11?ln?； x?1xx11111（2）已知：n?N且n?2，求证：?????lnn?1????。

23n2n?111（1）令1??t，由x>0，∴t>1，x?

xt?11原不等式等价于1??lnt?t?1

t（1）已知：x?(0??)，求证令f(t)=t-1-lnt， ∵

f?(t)?1?1当t?(1,??)时，有f?(t)?0，∴函数f(t)在t?(1,??)递增 t即t-1

∴f(t)>f(1) 另令g(t)?lnt?1?1t?1，则有g?(t)?2?0 tt∴g(t)在(1,??)上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt综上得

?1?1 t

1x?11?ln?x?1xx（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得

11123n11?????ln?ln???ln?1???? 23n12n?12n?111111即得?????ln?1????

23n2n?1

利用导数求和

例7．利用导数求和：

（1）（2）

。

n；

分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解：（1）当x=1时，

)'?nxn?1，可联想到它们是

；

当x≠1时，

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，

两边都是关于x的函数，求导得

即

（2）∵

，

两边都是关于x的函数，求导得。

令x=1得

，

即

。

单调区间讨论

例．设a?0，求函数f(x)?x?ln(x?a)(x?(0,??)的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解：

f?(x)?1?12xx?a(x?0). 当a?0,x?0时 f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0.

f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0

（i）当a?1时，对所有x?0，有x2?(2a?4)?a2?0.

即

f?(x)?0，此时f(x)在(0,??)内单调递增.

（ii）当a?1时，对x?1，有x2?(2a?4)x?a2?0，

即

f?(x)?0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， 函数

f(x)在（0，+?）内单调递增

（iii）当0?a?1时，令f?(x)?0，即x2?(2a?4)x?a2?0.

解得x?2?a?21?a,或x?2?a?21?a.

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因此，函数

f(x)在区间(0,2?a?21?a)内单调递增，在区间(2?a?21?a,??)

内也单调递增. 令

f?(x)?0,即x2?(2a?4)x?a2?0，解得2?a?21?a?x?2?a?21?a.

f(x)在区间（2?a-21?a,2?a?21?a)内单调递减.

因此，函数

（2009安徽卷理） 已知函数

f(x)?x?2?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x

① 当??a2?8?0，即a?22时，

a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2.

22x

f?(x) f(x)

(0,x1)

+ 单调递增?

x1

0 极大

(x1,x2)

_ 单调递减?

x2

0 极小

(x2,??)

+ 单调递增

此时

a?a2?8a?a2?8a?a2?8a?a2?8f(x)在(0,)上单调递增, 在(,??)上单,)是上单调递减, 在(2222调递增. 3.设函数

f(x)?ax2?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线

y?f(x)在点

(1,f(1))处的切线垂直于直线

exx?2y?1?0．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性．

f(x) 8