2020高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案

8.[20xx·江苏高考]如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的 体积为V2，则的值是________． 答案 32 解析 设球O的半径为R， ∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R. ∴＝＝.9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是 ________． 答案 2(π＋)解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何 体的表面积，为2(π＋)．10．[20xx·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于________． 答案 1603解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为×4×4×8－××4×4×4＝64 －＝.[B级 知能提升] 1．[20xx·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何体的 体积是( ) A. B. C. D.223 答案 D 13 / 15 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 解析 根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P－ABC剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为 2×2×2－××1×2×2＝.故选D.2．[20xx·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥 的表面积是( ) B．4＋5 D．5 A．2＋ C．2＋2 答案 C解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC)，如图，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝×2×2＝2，S△SAC＝××1＝，S△SAB＝ ××1＝，S△SBC＝×2×＝，所以S表面积＝2＋2.故选C.3．[20xx·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝ BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 答案 36π 解析 如图，连接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知 OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱锥S－ABC的体积 V＝×·OA＝， 即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且 AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．解 解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分 割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥． 则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥． 14 / 15 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72. 四棱锥D－MNEF的体积为： V2＝×S梯形MNEF×DN ＝××(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝ ×24×8＝96.5．[20xx·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面 积等于两底面面积之和，求棱台的体积．解 如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等 腰梯形BCC′B′的高， 又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm， 所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝ cm， 又因为O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱台的高h＝O′O ＝ 错误! ＝ ＝4(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋) ＝×?3253＋???3×20×30?4? ＝1900(cm3)． 故棱台的体积为1900 cm3. 15 / 15 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】