2021高中数学一轮复习课时过关检测（七） 函数的奇偶性与周期性

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课时过关检测（七） 函数的奇偶性与周期性

A级——夯基保分练

1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1

C．y＝

x

B．y＝－x2 D．y＝x|x|

解析：选D 对于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B，y＝－x2是偶函1

数，不满足条件．对于C，y＝是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D，

x设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x>0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数．故选D.

??log2（x＋1），x≥0，

2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝?则f(－7)＝( )

??g（x），x＜0，

A．3 C．2

B．－3 D．－2

解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

??log2（x＋1），x≥0，

且f(x)＝?

?g（x），x＜0，?

所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.故选B.

3．(2020·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝2 019?3x－1，则f??2?＝( )

A.3＋1 C．－3－1

B.3－1 D．－3＋1

2 019?解析：选D 因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f??2?33311

1 008＋?＝f??＝－f?－?＝－f??.又当x∈(0，1)时，f(x)＝3x－1，所以f??＝3－1，＝f?2??2???2??2??2?2 019?f??2?＝－3＋1.故选D.

4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x

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＋1)，则下列不等式正确的是( )

A．f(log27)

解析：选C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2，4]上的大致图象，如图所示．又2

e－e

5．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )

2A．|f(x)|是偶函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数

ex－e－x

解析：选ABC ∵f(x)＝，

2e－x－ex

则f(－x)＝＝－f(x)．

2∴f(x)是奇函数．∴－f(x)是奇函数． ∴|f(－x)|＝|f(x)|， ∴|f(x)|是偶函数， ∴f(x)|f(x)|为奇函数．

∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数， ∴f(|x|)f(x)是奇函数．

6．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是( )

B．－f(x)是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数

x

－x

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A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x＋2)为偶函数 D．函数f(x－3)为偶函数

解析：选BC 偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(x＋2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函数得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，则有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误．故选B、C.

7．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1，2]上的解析式是________________．

解析：令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)， 令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]， 故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．

故函数f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)． 答案：f(x)＝log2(3－x)

8．(2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(x＋3)＝f(x)，

∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数， ∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)． 又∵函数f(x)是偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，

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∴a>1，即a∈(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)

9．(一题两空)若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，a

函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．

x

解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，2

其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调

x1

－2，－?. 递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即?2??

1

－2，－? 答案：2 ?2??

10．已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是________．

解析：∵f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，∴－10可转化为f(m－2)>－f(2m－3)，即f(m－2)>f(－2m＋3)．∵f(x)是减函数，∴－1

??5－1<2m－3<1，∴1

5

1，? 答案：??3?11．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数． (2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f(x)＝f(－x)＝x；