高等数学模拟试卷001

15. 解：

??xdxdy??dy?D01y0111xdx??y2dy?y3?

0260611 y D O x

三. 16.

解

：

111?cos?121??1?2xxlimx?cos?1??lim?lim?lim?0

x???x??x??2x11x?x??xx1???2x?1????1 17. 解：limf(x)?lim?1?ex?1x?1???? 要使f(x)在x?1处连续，应有k?f(1)?limf(x)?1

x?1 18. 解：y'?e?exxe?1，y'x?1?2e，切线的斜率为

k?y'x?1?2e

切线方程为：y?2e?1?2e?x?1?，即y?2ex?1 19. x?x是f(x)的原函数?f?x??2x?1?f'?x??2

2

?xf'(x)dx??2xdx?x0011210?1

解

：

20.

?z??2z???z?xxx??xesiny???e?xe?siny，?????x?1?excosy?x?x?x?y?y??x?

?z?2z?x ?xecosy，??xexcosy???x?1?excosy

?y?y?x?x 21. ?1的法向量为n1?1，2，1???，?2的法向量

?n2???2，1，1?

所求平面?与?1、?2都垂直，故?的法向量为

n?n1?n2?1????i?j2?k1???1?i?3j?5k

?21 所求平面又过点M01，?1，1，故其方程为：

??1??x?1??3?y?1??5?z?1??0

即：x?3y?5z?9?0 22. 解：un?1n?n?0

2满足（i）un?un?1，（ii）

n??limun?limn??1n?n2 由莱布尼兹判别法知级数收敛

12un1n?n?1?lim 又因lim，令Vn?，则

n??1n??1nnn?

???1?n?1n?11n2?n??n?1?1n2?n与

?V??n同时发

nn?1n?1??1散。

故原级数条件收敛。 23.

y?e??p(x)dx??q(x)e1x?p(x)dx11??xdx?1?xdxdx?c?eedx?c??2?

?x??? ?eln?1lnx?1?1?1?edx?c?dx?c??2?????lnx?c? ?x?x??x?xlnx x 由yx?1?0?0?c，故所求特解为y? 24. 因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故

??xdxdy?0

Dy2??ydxd?y2?dx???ydxd?DD1011x3ydy

12 ?2?y0211x3dx??(1?x6)dx0111?6???x?x7???7?07y(1,1)D10x 25. 解：特征方程：r2?4r?3?0?r1??1，r2??3 故对应的齐次方程y\?4y'?3y?0的通解为y?c1e?x?c2e?3x （1） 因???3是特征值，故可设特解为 ?3xy*?Axe y*'?Ae?3x?3Axe?3x

y*\??3Ae?3x?3Ae?3x?3Axe?3x??6Ae?3x?9Axe?3x 代入原方程并整理得：?2Ae y*???3x??9?9e?3x?A??

29?3xxe 2?x 故所求通解为：y?c1e?c2e?3x?9?3xxe 2 26. f'(x)?lnx，令f'(x)?lnx?0得驻点x0?1，又

f\x)?1，f\1)?1?0 x 故x0是f(x)的极小值点，极小值为： f(1)??112lntdt??tlnt?t?1?211?ln2?1? 21?0?x?0?，曲线是上凹的 x1111 27. f(x)?????x?2??x?3?x?2x?32 因f\x)?

11?x2?11 x31?3?1??x?1??x?1?n?1??????????????1??n?1?n?1?xn??2?x?2?2n?0?2?3n?0?3?3??2n?0nn

??f?4?2x?0??x? 28. 解：令?

?f???4?2y?0???y 解得唯一的驻点（2，-2）

?2f?2f?2f ?2??2，?0，2??2

?x?y?x?y ?A??2，B?0，C??2

由AC?B?4?0且A??2?0，知（2，-2）是f(x,y)的极大值点

极大值为f(2,?2)?4(2?2)?4?4?8