2019高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3

[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：C6C4C2＝90种．

(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6C4C2种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A3种方C6C4C2

法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝3＝15.因此分为三份，每份两

A3

222642

33

222

3

222

222

本一共有15种方法．

(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C6C5C3＝60种方法．

(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C6C5C3A3＝360种方法．

(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C6C4C2＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C6C5C3A3＝360种方法；③“1、1、4型”，有C6A3＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．

[规律方法] 1．分清是分组问题还是分配问题，是解题的关键． 2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等． (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！. (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． [跟踪训练] 4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．

C4·C2·C1

36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；2A2

第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A3种．所以满足条件的分配方案有C4·C2·C13

·A3＝36(种)．] 2A2

2

1

1

3

2

1

1

3

12

33

4

222

1233

123

排列、组合的综合应用 [探究问题] 1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？

4×32

[提示] 共有C4＝＝6(个)不同结果．

2

完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．

2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？

5

[提示] 共有A4－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．

3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？

[提示] 由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A4种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C2C3C3＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A4＋C2C3C3＝30(种)不同的结果．

有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符

合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

【导学号：95032063】

[思路探究] (1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．

[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C5C3＋C5C3种，后排有A5种，

共(C5C3＋C5C3)·A5＝5 400种．

(2)除去该女生后，先选后排，有C7·A4＝840种． (3)先选后排，但先安排该男生，有C7·C4·A4＝3 360种．

(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C6种，再安排该男生有C3种，其余3人全排有A3种，共C6·C3·A3＝360种．

[规律方法] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1．按事情发生的过程进行分步． 2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． [跟踪训练] 5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少

6

3

3

1

3

3

1

4

1

4

4

4

32

41

5

5

32

41

2

111

111

2

2

有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )

A．360 B．520 C．600 D．720

C [分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C2C5A4＝2×10×24＝480种选法． 第二类，甲、乙都参加时，则有C5(A4－A2A3)＝10×(24－12)＝120种选法． 所以共有480＋120＝600种选法．]

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )

A．120 B．84 C．52 D．48 C [间接法：C8－C4＝52种．]

2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )

【导学号：95032064】

A．60种 C．10种

B．20种 D．8种

3

3

3

2

4

23

134

C [四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C5＝10.]

3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

A．4种 C．18种

B．10种 D．20种

2

B [分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C4＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C4＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]

4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．

225 [在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C6×C6＝15×15＝225个．]

5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选.

7

2

2

1

【导学号：95032065】

[解] (1)一名女生，四名男生，故共有C14

5C8＝350种选法．

(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C23

2C11＝165种选法． (3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选． 故共有C1423

2C11＋C2C11＝825种选法． 或采用间接法：C55

13－C11＝825种．

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C23145

5C8＋C5C8＋C8＝966种选法．

8