15.2.2空间多面体的截面的作法

空间多面体截面的作法

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点．

作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．

作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件．

（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．

（3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

（4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点．

例1 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面． 作法：（1）在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线交于L、M．

（2）在侧面A1D内，连结LG交AA1于K． （3）在侧面D1C内，连结GM交CC1于H．

（4）连结KE、FH．则五边形EFHGK即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介．

例2 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F在两条棱上，G在底面A1C1内，求过E、F、G的截面．

作法：（1）在底面A1C1内，过G作PQ//B1C1，交棱于P、Q两点． （2）作辅助面PC，在此面内，过G、F作直线交BP的延长线于M． （3）在侧面A1B内，连结ME，交A1B1于K． （4）在底面A1C1内，连结KG，延长交B1C1于H．

（5）连结HF．

（6）在底面AC内，作FL//HK，交AB于L．

（7）连结EL．则五边形ELFHK为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解．

例3 如图，五棱锥P?ABCD中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面．

作法：（1）将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P?BST．

1

图

（2）在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K． （3）在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L．

（4）在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N． （5） 连结FN、MH．则五边形FGHMN即为所求的截面．

平面作图法：

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．

1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．

2．作截线与截点的主要根据有： (1)确定平面的条件．

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．

3.作图的的主要思想方法有：

(1)若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 (2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。

(3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。 D1C1 (5)若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的

Q点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再A1PB1转化为棱上的点的问题来解决。

4.具体题目分析：

已知：P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，试画出过P、Q、R三点的截面．

C D

作图步骤：

(1)先过R、P两点作辅助平面。过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1，则面CRR1C1为所作的辅助平面。

(2)在面CRR1C1内延长R1C1，交RP的延长线于M。 (3)在面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1T的延长线于点T。

(4)连接TR，交AA1于点N，延长TR交B1B于点K，再连接KP交BC于点L。

(5)连接RL、PS、QN。

则多边形QNRLPS为所求。

AD1QR1RBSC1B1PMA1NDABKLCR2