2019届神州智达高三诊断性大联考(二)(质检卷Ⅱ)数学(文)试题(解析版)

明SVPF1R?SVPF1O，从而表示出SVPQO，然后再利用换元法求最大值. 【详解】

3?3??a24b2?1?222解：?1?依题意，得?a?b?c，

?c??1,?a解得a?2,b?3,c?1,

x2y2故椭圆C的方程为??1

43?2?当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x??1,

此时SVPQO?1?3?3??3?1???????? 2?2?2??2当直线PQ的斜率存在时，

设其方程为y?k?x?1?，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?， 显然直线PQ不与x轴重合，即k?0,

?y?k?x?1??2222联立?x2y2，解得?3?4k?x?8kx?4k?12?0,

?1??3?4??144?k2?1??0

?8k2x?x????123?4k2 故?2?xx?4k?1212?3?4k2?uuuruuuur因为PR?RF2,

故O,R分别为F2F2,PF2的中点， 故OR//PF1,

故VPF1R与VPF1O同底等高， 故SVPF1R?SVPF1O，

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点O到直线PQ的距离d?k1?k2

PQ?1?k2x1?x2?1?k2??x1?x2??4x1x2?k2?k2?1?1S?PQd?62 22?3?4k?令u?3?4k?(3,??)，

2212?1?k2?3?4k2

u?3u?1?故44?3?3?2?1??0,3? S?6??u22u2u?2?故S的最大值为【点睛】

知识：椭圆方程、韦达定理的应用、直线和椭圆的位置关系及弦长公式的求解、求函数的最值的方法等.能力：考查了逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.是难题.

21．已知函数f?x???x?1??4?a?1?lnx,其中实数a?3. （1）当a?0时，求函数f?x?的最小值.

（2）已知当x?1,2时，f?x??2a?x?1?恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）1?4ln2.（2）(??,2]

【解析】（1）把a?0代入原函数，根据函数的单调性易求f?x?的最小值. （2）构造新函数g?x???x?1??4?a?1?lnx?2a?x?1?，求g?x?的最大值即可.

223 2??【详解】

解：?1?函数f?x?定义域为(0,??)

2x?x?2?a?1??4?a?1?2??? ?f?x??2?x?1???xx当a?0时，f'?x??2?x?2??x?1?

x令f'?x??0,解得x?2；

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令f'?x??0,解得0?x?2，

所以f?x?在x?2处取得唯一的极小值，即最小值. 所以函数f?x?的最小值为f?2??1?4ln2.

?2?令g?x???x?1?2?4?a?1?lnx?2a?x?1?，

?g?1??0,

因为g'?x??2(x?2)??x??a?1???x

又因为a?3, 所以a?1?2,

所以当a?2时，则x?1,2时g'?x??0, 所以函数g?x?单调递减， 所以有g?x??g?1??0恒成立；

当2?a?3时，则x??1,a?1?时g'?x??0, 所以函数g?x?单调递增，

所以g?a?1??g?1??0,不符合题意. 综上，a的取值范围是(??,2]. 【点睛】

知识：利用导数求函数的单调区间、最值，不等式恒成立求参数的取值范围.能力：推理论证能力、分析问题、解决问题的能力、运算求解能力.试题难度大.

???13??,?,以坐标22．已知平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为，且过点P????424??原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

??2?2?cos(??)?0.

3（1）求曲线C的普通方程并说明其轨迹； （2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求AB.

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?13?1??3???,?1【答案】（）曲线C的普通方程为?x????y?其轨迹是以??1，??????2222??????为圆心，1为半径的圆.（2）2246 4【解析】（1）用公式直接代入即可.

（2）设出AB的参数方程，利用参数的几何意义求解即可. 【详解】

解：?1?曲线C的极坐标方程为??2?cos(??2?3)?0,

即??2?(cos?cos2??sin?sin)?0,

33?也就是?2??cos??3?sin??0, 即得x2?y2?x?3y?0，

1??3???1 即得?x????y????22????21??3???1 故曲线C的普通方程为?x????y????2??2??222?13??,?其轨迹是以???2?为圆心，1为半径的圆. 2??1??x??tcos?44(t为参数)， ?2?由条件可设直线l的参数方程: ???y??3?tsin??24??122t2?x?????1?342??1, 将?代入?x????y????2??2???y??3?2t?22?化简并整理，得16t2?122t?7?0, 设A,B对应的参数分别为t1,t2， 则V?0,且t1?t2??327,t1t2?? 416第 20 页 共 22 页