2019届神州智达高三诊断性大联考(二)(质检卷Ⅱ)数学(文)试题(解析版)

冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：

i xi/0.01% yi/min 1 104 2 180 3 190 4 177 5 147 6 134 7 150 8 191 9 204 10 121 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 xiyi 10400 36000 39900 32745

22785 18090 25500 39155 47940 15125

（1）据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明

（若r?0.75，则认为y与x有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001）；

（2）建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）； （3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间. 参考公式：回归方程y=bx?a中斜率和截距的最小二乘估计分别为

$?b?xy?nxyiii?1nn?xi?12i?nx2，

$a?y?$bx，相关系数r??xy?nxyiii?1n??(?xi2?nx2)??yi2?ny2?i?1?i?1?nn.

参考数据：

x?159.8,y?172,?x?265448,?y?312350,?xiyi?287640，

2i2ii?1i?1i?110101010?1022??22?x?10xy?10y??i???i??12905. ?i?1??i?1???1.27x?30.95（;2）y;3）172min 【答案】（1）可以认为y与x有较强的线性相关关系（?计算a? ，利用a? ，??y?bx【解析】(1)代入公式计算r，再作判断，(2)根据数据计算b(3)即计算x?160时对应函数值.

第 13 页 共 22 页

【详解】 （1）由题得r?287640?10?159.8?172?0.991

12905Qr?0.75

?可以认为y与x有较强的线性相关关系.

10??（2）Qb??i?1ii102i?1ixy?10xyx?10x2?1.27

???30.95 ??y?bx?a??1.27x?30.95 所以回归方程为y??1.27?160?30.95?172?min? （3）当x?160时，y即大约需要冶炼172min 【点睛】

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直

?，写出回归方程，回归直线方程恒过点?x,y?. ?,b接根据用公式求a19．在如图所示的四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，?DAB?60?,?PAB为正三角形.

（1）证明:AB?PD； （2）若PD?6AB，四棱锥的体积为16，求PC的长. 2【答案】（1）见解析（2）210

【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得DO?AB，PO?AB，根据线面垂直的判定定理可得AB?平面POD，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理，

PO?OD，结合PO?AB,可得，PO?平面ABCD，设AB?2x，利用棱锥的体

积公式列方程解得x?2，由勾股定理可得PC的长. 详解：（1）证明：取AB中点为O,连接PO,DO,BD ∵底面ABCD为菱形，?DAB?60?,

第 14 页 共 22 页

∴?ABD为正三角形，DA?DB ∴DO?AB

又∵?PAB为正三角形， ∴PO?AB

又∵DO?PO?O,PO?平面POD,DO?平面POD， ∴AB?平面POD， ∵PD?平面POD， ∴AB?PD.

（2）法一：设AB?2x，则PD?在正三角形?PAB中，PO?∴PO2?OD2?PD2， ∴PO?OD，

6x，

3x，同理DO?3x，

又∵PO?AB,DO?AB?O，DO?平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PO?平面ABCD, ∴VP?ABCD?∴x?2，

∵AB//CD,AB?PD ∴CD?PD ∴PC?1?23x2?3x?16， 3PD?CD?22?26?

2?42?210.

法二：设AB?2x，则PD?6x，

第 15 页 共 22 页

在正三角形?PAB中，PO?∴PO2?OD2?PD2， ∴PO?OD，

3x，同理DO?3x，

又∵PO?AB,DO?AB?O，DO?平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PO?平面ABCD, ∴VP?ABCD?1?23x2?3x?16， 3∴x?2， 连接OC,

∵在?OBC中，OB?2,BC?4,?OBC?120?，

∴由余弦定理得OC?OB2?BC2?2OB?BC?cos120??27， ∴在RT?POC中，PC?PO2?OC2??23?27??2?2?210. 点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论

(a||b,a???b??)；（3）利用面面平行的性质?a??,?||??a???；（4）利用

面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

x2y220．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点

abuuuruuuur?3?1PF3,?,????离心率e?2,点P在椭圆C上，延长1与椭圆C交于点Q,PR?RF2. 2??（1）求椭圆C的方程；

（2）记VQF1O与VPF1R的面积之和为S,求S的最大值.

3x2y2【答案】（1）??1（2）最大值为

243【解析】根据椭圆C过点??3,???3?1e?和离心率易求. ?2?2?分两种情况：PQ的斜率不存在和斜率存在；PQ的斜率存在时，设出PQ的方程，证

第 16 页 共 22 页