黄冈2013高考数学平面向量、复数复习讲义

2013高考数学【平面向量、复数】复习讲义

?c?d2?c?c??2a?b???2a?b??4a?4a?b?b?722?c?27，同理可得

2b?4ac?213 而c?d?(2a?b)?(3b?a)?7a?b?3b?2a1727131791182??172，设?为

c与d的夹角，则cos?????

点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。

例2.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：(a?b)⊥c；（2）若|ka?b?c|?1(k?R)，求k的取值范围.

分析:问题（1）通过证明(a?b)?c?0证明(a?b)?c,问题（2）可以利用

|ka?b?c|??ka?b?c?

22解：（1）∵ |a?||b?|c|?|，且1a、b、c之间的夹角均为120°，

∴ (a?b)?c?a?c?b?c?|a||c|cos1200?|b||c|cos1200?0

∴ (a?b)?c?0 （2）∵ |ka?b?c|?1，即|ka?b?c|2?1

也就是ka?b?c?2ka?b?2ka?c?2b?c?1

1∵ a?b?b?c?a?c??，∴k2?2k?0

2所以 k?0 或k?2．

解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.

例3.如图，在直角△ABC中，已知BC?a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

PQ与BC的夹角?取

2222何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值 分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得

????????????????????????BP?CQ?(AP?AB)?(AQ?AC),再结合直角三

角形和各线段长度特征法解决问题

????????????????解：?AB?AC,?AB?AC?0.

?????????????????????????????????AP??AQ,BP?AP?AB,CQ?AQ?AC, ?????????????????????????BP?CQ?(AP?AB)?(AQ?AC)

2013高考数学【平面向量、复数】复习讲义

?????????????????????????????????AP?AQ?AP?AC?AB?AQ?AB?AC????????????????2??a?AP?AC?AB?AP????????????2??a?AP?(AB?AC)1???????? 2??a?PQ?BC21????????2??a?PQ?BC2??a?acos?.故当cos??0,即??22例3

?????2????????????2(PQ与BC方向相同)时,BP?CQ最大.其最大值为?a.

点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 【反馈练习】

1.已知向量a,b满足a=1,b?4,且a?b?2,则a与b的夹角为

??????3

??DC2.如图，在四边形ABCD中，|AB|?|BD|?|DC|?4,AB?BD?BD?DC?0,

???????|AB|?|BD|?|BD|?|DC|?4，则(AB?DC)?AC的值为4

3.若向量a,b满足a=b=1,a,b的夹角为60°，则a?a+a?b=

23AB4.若向量a=1,b?2,且a-b?2,则a+b?5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=

216

第2题

,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)

a?b2解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴a?b??a22?b2??10

（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.

6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直， ∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b=0，

∴b2=2 a·b，|a|=|b| ∴cos??

2

a?b1?? ∴??60 2a?b2013高考数学【平面向量、复数】复习讲义

第3课 向量的坐标运算

【考点导读】

1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.

3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】

1若OA=(2,8)，OB=(?7,2)，则

13AB=(?3,?2)

432平面向量a,b中，若a?(4,?3)，b=1，且a?b?5，则向量b=(,?)

55????????????23.已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三点共线，则k=?

34.已知平面向量a?(3,1)，b?(x,?3)，且a?b，则x?1 【范例导析】

例1.平面内给定三个向量a??3,2?,b???1,2?,c??4,1?，回答下列问题： （1）求满足a?mb?nc的实数m,n； （2）若?a?kc?//?2b?a?，求实数k； （3）若d满足?d?c?//?a?b?，且d?c?5，求d

分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.

解：（1）由题意得?3,2??m??1,2??n?4,1? 5?m????m?4n?39 所以?，得?8?2m?n?2?n?9?（2）a?kc??3?4k,2?k?,2b?a???5,2?

?2??3?4k????5??2?k??0,?k??1613

??（3）设d??x,y?，则d?c??x?4,y?1?,a?b??2,4?

2013高考数学【平面向量、复数】复习讲义

由题意得??4?x?4??2?y?1??0??x?4???y?1??522

???x?5?x?3得?或?∴d??3,?1?或?5，3?

y?3y??1??点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组

求解。

例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求AD及点D的坐标、

分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.

解：设点D的坐标为(x,y) ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC，∴AD⊥BC 又∵C、B、D三点共线， ∴BC∥BD

又AD=(x－2,y－1), BC=(－6,－3) BD=(x－3,y－2)

∴???6(x?2)?3(y?1)?0??6(y?2)?3(x?3)?0

)，AD的坐标为(－，

5125例2

解方程组，得x=

9595,y=，

7575∴点D的坐标为()

点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题. 例3．已知向量a??cos??3x2,sin3x?xx??,b?cos,?sin???,且x?2?22??????0,2? ??求（1）a?b及a?b；（2）若f?x??a?b?2?a?b的最小值是?分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解. 解：（1）a?b?cos32xcosx2?sinx??x??sin??cos2x 2?2?332，求?的值。