黄冈2013高考数学平面向量、复数复习讲义

2013高考数学【平面向量、复数】复习讲义

平面向量与复数

【知识图解】

Ⅰ.平面向量知识结构表

向量的概念 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件向量 向量的运算 向量的运用 Ⅱ.复数的知识结构表 数系的扩充与 复数的引入 复数的运算 复数的概念 【方法点拨】

由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，

在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.

2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一

平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.

3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数

问题解决.

4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方

数系的扩充

2013高考数学【平面向量、复数】复习讲义

法.

第1课 向量的概念及基本运算

【考点导读】

1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】

1.出下列命题：①若a?b，则a?b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则AB?DC是四边形为平行四边形的充要条件；③若a?b,b?c，则a?c；④a?b的充要条件是a?b且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c。其中，正确命题材的序号是②③

????????????????2. 化简AC?BD?CD?AB得0

3.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形

4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点， 若OA＝a，OB＝b，则OP＝

????OQB Q P A ????????????23a?13b，

b a O ＝

13a?23b (用a、b表示)

第4题

【范例导析】

例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

????????????求证：AB?DC?2EF.

D C E F

A B

例1

分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB和EC ，

???????????????????????????????????????? 由EA?AB?EB和EF?FB?EB可得，EA?AB?EF?FB （1）

???????????????????????????????????????? 由ED?DC?EC和EF?FC?EC可得，ED?DC?EF?FC （2） ????????????????????????????（1）+（2）得， EA?ED?AB?DC?2EF?FB?FC （3） ??????????????????∵E、F分别为AD和BC的中点，∴EA?ED?0，FB?FC?0，

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代入（3）式得，AB?DC?2EF

点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.

????????????????????例2.已知OA,OB不共线，OP?aOA?bOB,求证：A,P,B三点共线的充要条件是a?b?1

????????????分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.

????????解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数?，使得AP??AB,即

????????????????OP?OA??OB?OA??????????????????????????,∴OP??1???OA??OB,∵OP?aOA?bOB,∴

a?1??,b??，∴a?b?1.

????????????????????????????????再证充分性：若a?b?1.则AP?OP?OA=?a?1?OA?bOB?bOB?OA=bAB,∴

??????????AP与AB共线，∴A,P,B三点共线.

点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】

1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）

A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b|

????1????????????2.设四边形ABCD中，有DC?AB,AD?BC则这个四边形是（C）

2A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ????????????????????????①AB?BC?CD， ②DB?AC?BD， ③?????????????????OA?OC?OB?CO。

????????????????????????解析：①原式= (AB?BC)?CD?AC?CD?AD； ?????????????????????②原式= (DB?BD)?AC?0?AC?AC；

?????????????????????????????????????③原式= (OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB。

4.设x为未知向量， a、b为已知向量，x满足方程2x?(5a+3x?4b)+

9212a?3b=0，

则x=?a?b（用a、b表示）

????????????5.在四面体O-ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的中点，则

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OE=

12a?14b?14c（用a，b，c表示）

6如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设OA?a,OB?b,试用a,b表示OM,ON,MN

?????1????1????????1解：?BM=BC=BA,?BM=BA=OA-OB=?a?b?

36666??????????????15142?OM=OB+BM?a?b . ?CN?CD,?ON?CD?OD

66333????2????2??????????????????????211?ON=OD=OA+OB??a?b? ?MN=ON-OM?a?b

3332611??????????????????????????

第6题

第2课 向量的数量积

【考点导读】

1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.

4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.

【基础练习】

1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为600，那么a?3b?13

2.在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，

????????AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值个数为2个

03. 若a?1,b?2，a与b的夹角为60，若(3a+5b)?(ma?b)，则m的值为

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4.若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 120° 【范例导析】

例1.已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角的余弦值。 分析:利用a20?a及cos??2a?ba?b求解.

120解：由题意，a?b?1，且a与b的夹角为120，所以，a?b?abcos120???，