杨浦区高三数学一模试卷（文科）含答案 - 精校版

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2

一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.arctan3； 3.2； 4. ???,0? ； 5.

2

3 ； 6. 1 ； 7. ?； 8. 2；

9. 文?； 10. 30 ； 11. x?6x?10?0； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2； 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B； 17. A ； 18. 文C

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】

（1）因为 B1C//A1D，

?直线A1B与A1D所成的角就是异面直线A1B与B1C所成角. ……2分

又?A1BD为等边三角形，

?异面直线A1B与B1C所成角的大小为60?. ……6分

（2）四棱锥A1?ABCD的体积V?20. 【解】

（1）由题得 g?x??m?n?ax2?1?2ax?a(x?1)2?1?a ……4分 又a?0开口向上，对称轴为x?1，在区间x??2,3?单调递增，最大值为4,

121?a?a?a3 ……12分 33?g?x?max?g?3??4 所以，a?1 ……7分

g(x)1?x??2 ……8分 xx?1?xxx令t?3,则t??,3? 以f?3??k3?0可化为f(t)?kt,

?3?f(t)即k?恒成立, ……9分

tf(t)1f(t)1?1?1?(?1)2且??,3?,当?1,即t?1时最小值为0, ……13分

t?3?tttt（2）由（1）的他，f?x???k?0 ……14分

21. 【解】

文科（1） 由抛物线?焦点F(0,1)得,抛物线?方程为x2?4y （2） 设AF?m，则点A(?msin?,mcos??1) 所以，(?msin?)2?4(1?mcos?)，既m2sin2??4mcos??4?0 解得 AF?2(cos??1)sin2? ……14分 22. 【解】

文科(1) 由a?3S21?2及Sn?1n?n?2 当n?1时

故a2?7 (2)由S3S2?3S2n?1?n?n?2及Snn?1?(n?1)?2(n?2) 得 an?1?3an?2n?1，故(an?1?n?1)?3(an?n)， 即bn?1?bn(n?2)，当n?1时上式也成立, ,故?bn?是以3为首项，3为公比的等比数列 (3) 由（2）得b1n?3n,b?1n n31111(1?13n)b???????3?1(1?1)?40 1b2bn1?123n813故 3n?81解得n?4，最小正整数n的值5

23【解】

（文科）解：（1）①因为A(0,1),B(0,?1),M (m,

12)，且m?0， ……5分 ……8分 ……11分 ……4分

……6分

……8分 ……9分 ……10分 ……11分 ……14分 ……16分

?直线AM的斜率为k1=?13,直线BM斜率为k2=, 2m2m3?直线AM的方程为y=?1x?1 ,直线BM的方程为y=x?1 , ……2分

2m2m?x22?4?y?1,由?得m2?1x2?4mx?0， ?y??1x?1,2m???4m?4mm2?1? ……4分

?x?0,x?2,?E?2,2?,m?1?m?1m?1??x2?y2?1,?由?4得m2?9x2?12mx?0， ?y?3x?1,2m???212m?12m9?m?x?0,x?2,?F?2,2??； ……5分 m?9m?9m?9??②S?AMF?11|MA||MF|sin?AMF,S?BME?|MB||ME|sin?BME,?AMF??BME, 22|ME||MF|5S?AMF?S?BME,?5|MA||MF|?|MB||ME|，?5|MA|?|MB|, ……7分

?5mm?, m?0，

4m12m?m?mm2?19?m2?整理方程得

11522(m?3)(m?1)?0， ??1，即22m?1m?9又有m??3，?m2?3?0， ?m2?1，?m??1为所求. ……10分 (2) 因为直线l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0, 直线l2:y??1x?1?x?ky?k?0, ……12分 k所以圆心(0,0)到直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0的距离为d?11?k；

2,

所以直线l1被圆x?y?4所截的弦TR?24?d?22223?4k21?k2?x?ky?k?0?222?kx?4x?8kx?0,所以 由?x22??y?1?48k164k28k2?1xQ?xP??2 所以 QP?(1?2)2 ……15分 ?22k?4k(k?4)k?4所以 S?TRQ184k2?332?QPTR??2?3216?13 2k?44k2?3?13213134k2?3当4k2?3?13?k2?5104k2?32?k??2时等号成立, 此时直线l1:y??102x?1 分 ……18