高考数学二轮复习 专题突破训练五 第1讲 空间几何体 理(含高考真题)

(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC111

及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6

3211

＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 32故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．

多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为

等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )

A.

16＋3

3

8＋63B.

320D. 3

16C. 3答案 D

解析 过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由1

正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1＝×2×2＝2，高为2，所以体积为V1＝4，

2188

两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V1＝2××2×1×2＝，所以多面体的体积为V＝

33320

＋4＝，选D.

3热点三 多面体与球

例3 如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线

BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球

的体积为( )

A.

32

π B．3π C.π D．2π 23

思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心

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的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可． 答案 A

解析 如图，取BD的中点E，BC的中点O， 连接AE，OD，EO，AO.

由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD， 所以AE⊥平面BCD.

因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝2， 所以AE＝所以OA＝

21，EO＝. 223. 2

13

在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，

22所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为4333

所以该球的体积V＝π()＝π.故选A.

322思维升华 多面体与球接、切问题求解策略

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，

3

. 2

PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．

(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打

磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )

6

A．1 C．3

B．2 D．4

(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．

1

答案 (1)B (2) 3π

3

解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的1

半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.

2

(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为1的正方形，

PA⊥底面ABCD，且PA＝1，∴该四棱锥的体积为V＝×1×1×1＝.又PC为其外接球的直径，

∴2R＝PC＝3，则球的表面积为S＝4πR＝3π.

2

1

313

1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．

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2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．

3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．

4．长方体的外接球

(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＋b＋c＝2R；

(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R.

2

2

2

真题感悟

1．(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A．S1＝S2＝S3 C．S3＝S1且S3≠S2 答案 D

解析 如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以

B．S2＝S1且S2≠S3 D．S3＝S2且S3≠S1

S1＝×2×2＝2.

三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，

1

所以S2＝×2×2＝2.

2

三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等， 1

所以S3＝×2×2＝2.

2所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.

2．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧

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