2016-2017学年高中数学阶段质量检测（一）A卷新人教A版选修4-4

阶段质量检测（一）A卷

一、选择题

(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A．(1,0) C．(0,1)

B．(－1,0) D．(0，－1)

解析：选B x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．

?π?Q(2，

2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P?0，?，π)，则有( )

2??

A．P在曲线C上，Q不在曲线C上 B．P，Q都不在曲线C上

C．P不在曲线C上，Q在曲线C上 D．P，Q都在曲线C上

π

解析：选C 当θ＝时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，

2

ρ＝2cos 2π＝2，故点Q在曲线上．

3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )

x＝3x′??A.?1

y＝y′??2

??x＝3x′C.?

?y＝2y′?

?1

B.?x′＝3xy′＝y2?

??x′＝3xD.?

?y′＝2y?

??x′＝λx，

解析：选B 将?

?y′＝μy?

代入y＝sin x，得μy＝sin λx，

11

即y＝sin λx，与y＝2sin 3x比较，得μ＝，λ＝3，

μ2

x′＝3x，??即变换公式为?1

y′＝y.?2?

4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( ) A．x＋(y＋2)＝4 C．(x－2)＋y＝4

2

2

2

2

2

B．x＋(y－2)＝4 D．(x＋2)＋y＝4

2

2

2

2

22

解析：选B 由ρ＝4sin θ，得ρ＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x＋y＝4y，

即(y－2)＋x＝4.

5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，

22

??C1?6，，5?，则此长方体的体积为( ) ?

?

A．100 C．160

B．120 D．240

π

2

?π?可知|OA|＝4，|OC|

解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1?6，，5?，

2??

＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.

6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A．π C．8π

B．4π D．9π

解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)＋y＝4[(x－1)＋y]． 即(x－2)＋y＝4.

故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.

7．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A．2 C．23

B．6 D．215

2

2

2

2

2

2

2

2

解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)＋y＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝4－2＝12＝23.

π2

8．极坐标方程θ＝，θ＝π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )

33A.16

π 3

8

B.π 32D.π 3

2

2

4C.π 3

2πππ

解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为－＝.

3331π8π

∴扇形面积为：×4××4＝.

233

π??9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin?θ－?关于( )

3??π

A．θ＝轴对称

3

5π

B．θ＝轴对称

6

?π?C.?2，?中心对称

3??

D．极点中心对称

π?5π????5π?解析：选B ρ＝4sin?θ－?可化为ρ＝4cos?θ－?，可知此曲线是以?2，?为

3?6?6????5π

圆心的圆，故圆关于θ＝对称．

6

?π?10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q?1，?的最近距离等于( )

2??

A.2－1 C．1

B.5－1 D.2

2

2

解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)＋y＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即2－1.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x＋y－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝

答案：3

12．点A的直角坐标为?解析：r＝

|2－1|

1?1?2＋?l?2，解得l＝3. 2

＝，设所求的弦长为l，则1＝?2??2?2

????2＋02

2

2

?339?

，，3?，则它的球坐标为________． ?22?

31?33?2?9?22

??＋?2?＋3＝6.cos φ＝6＝2， ?2???

92

ππ∴φ＝.tan θ＝＝3，∴θ＝.

3333

2

?ππ?∴它的球坐标为?6，，?.

33???ππ?答案：?6，，?

33??

?π?13．在极坐标系中，点A?2，?关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为

2??

________．

解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是π

点A关于l的对称点，则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′

4＝22，

π??故A′的极坐标可以是?22，?. 4??π??答案：?22，?

4??

14．已知直线l的方程为y＝x＋1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线

2

C的公共点的极径 ρ＝________.

解析：直线l的方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝x＋y＝5.

答案：5

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

2

2

2

xx′＝，??3?y??y′＝2

2

2

后的图形．

(1)x－y＝1；(2)＋＝1.

98

x2y2

xx′＝，??3

解：由伸缩变换?yy′＝??2

2

2

2

22

??x＝3x′，

得?

?y＝2y′.?

①

(1)将①代入x－y＝1得9x′－4y′＝1，

2

xx′＝，??3

因此，经过伸缩变换?yy′＝??2

2

2

后，

双曲线x－y＝1变成双曲线9x′－4y′＝1，如图(1)所示． (2)将①代入

2

x2

9

＋

y2

8

＝1得x′＋

y′2

2

＝1，因此，经过伸缩变换

xx′＝，??3?y??y′＝2

后，椭圆＋＝1变成椭圆x′＋＝1，如图(2)所示．

982

x2y2

2

y′2