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一元一次方程
列一元一次方程解应用题
夯实基础 一．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2）设：用字母表示题目中的一个未知量。
（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4）列：根据这个相等关系列出方程。 （5）解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6）验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7）答：写出答案。 二．设未知数的几种方法
设未知数的方法有三种：
（1）直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。
（2）间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3）设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 温馨提示
①采用直接设未知数的方法，原则是使分析条件更方便，列方程更简单，这样比较容易得到方程，同时还要兼顾所得到的方程求解时难易。直接设未知数，好处是容易选取未知数，而且在解方程时可以直接得到问题的解。
②如果题目里涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系，多采用间接设未知数的方法，间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法。其优点是列出方程和解方程的过程都比较容易。
③如果应用题涉及的量较多，各量之间的关系又不明显，若能设立适当的辅助未知数，把不明显的关系表示出来，就可以顺利地列出方程或方程组。
例1：通讯员原计划5h从甲地到乙地，因为任务紧急，他每小时比原计划快3km，
结果提前1h到达，求甲、乙两地间的距离。
解析：解法一：直接设未知数。设甲、乙两地间的距离为xkm。利用速度间的关系作相等关系：原计划速度?3?实际速度，得
xx?3?，解得x?60。 55?1 解法二：间接设未知数，设原计划的速度为xkm/h，则实际的速度为
(x?3)km/h。利用路程关系作相等关系：原计划的路程=实际的路程，得5x?(5?1)?(x?3)，解得x?12，甲、乙两地的距离为5x?5?12?60(km)。
答：甲、乙两地的距离为60km。
例2：一只船在逆水中航行，船上的一只救生圈掉入水中，5分钟后，发现救生圈落水，船掉头去追赶救生圈，几分钟能够追上救生圈？（船掉头的时间忽略不计）
解析：（设辅助未知数）设船在静水中的航行速度为a米/分，水流速度为b米/分，t分钟后船能够追上落水的救生圈。根据题意，得(a?b)t?bt?5b?5(a?b)。
at?5a，t?5。答：5分钟后船能够追上落水的救生圈。
三．一元一次方程应用题的常见类型
类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 增长量=原有量×增长率 和、差、倍分问题 现有量=原有量?增长量 现有量=原有量－降低量 长方体体积=长×宽×高 等积变形问题 圆柱体积=?r2h （h为高，r为底面圆半径） 快车行驶路程+慢车相遇问题 路程=速度×时间 行驶路程=原距离 发时间、地点 同向而行，注意出发时间、地点 注意两地距离，静路程=速度×时间 逆水速度=静水速度-水速
水速度不变 时间=路程÷速度 快车行驶路程-慢车追及问题 速度=路程÷时间 行驶距离=原距离 顺水速度=静水速度+水速 航行问题 相向而行，注意出变形前后体积相等 要分清半径、直径 由题可知 等量关系 注意事项 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行程问题 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 调配问题 等量关系 从调配后的数量关系中找等量关系 全部数量=各种成注意事项 调配对象流动的方向和数量 把一份数设为x 年龄增长一年一比例分配问题 分的数量之和 年龄问题 大小两个年龄差不会变 由题可知 岁，人人如此 两个或几个工作效工作量=工作效率×工作时间 率不同的对象所完工程问题 工作效率=工作量÷工作时间 成的工作量的和等工作时间=工作量÷工作效率 于总工作量 商品的利润率?商品利润?100%商品进价一般情况下，把总工作量设为1 打几折就是按售价由题可知 的十分之几销售 利润率问题 商品利润=商品售价-商品进价 （成本价） b分别为一个两位数的设a、数字问题（包括日历个位、十位上的数字，则这个中的数字规律） 两位数可表示为10b?a 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 利息=本金×利率×期数 储蓄问题 本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数） 溶液质量=溶质质量+溶液质量 由题可知 分清利息和本息和 加水前溶质质量=加水后溶质质量 加水前含水量+加水量=加水后水量 注意加水前后溶剂、溶液的变化 浓度问题 百分比浓度?溶质质量?100% 溶液质量溶质质量=溶液质量×百分比浓度 掌握方法 一．列一元一次方程解决配套问题
在现实生活中常见到一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等。解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解
决问题。
例1：某场共有120名生产工人，每名工人每天可产生螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少人名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
二．用列表法解决增长率、数字等问题
解复杂的问题时，可借助表格来确定等量关系。先找出已知量、未知量，并用含已知量或未知量的式子把中间的那些起桥梁作用的量表示出来，同时利用表格显示出等量关系。
例2：已知甲、乙两种商品的原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价各是多少元。
三．用图示法解决行程、工程等问题
有关工程、行程问题，经常利用图示表示题目中各量间的关系，揭示出潜在的条件，使问题清晰明了，能迅速列出方程，求解问题。
例3：甲、乙相距40km，甲先出发，1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，问甲出发多久后追上乙？ 例4：一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成。开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了多少小时？
四．列一元一次方程解决销售利润问题
常见数量关系 利润=售价-进价 注意事项 打几折就是按原价的百分之几十出售 分清利润与利润率 利润率?售价-进价?100% 进价例5：书店里每本定价10元的书，成本是8元。为了促销，书店决定让利10％给读者，问该书应打多少折？
五．列一元一次方程解决比赛中的积分问题
解决比赛中积分问题要注意问题中积分多少与胜负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，需先规定胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分。这类问题中的基本等量关系有： 比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负数总积分
例6：某班一次数学小测验中，出了选择题和填空题共20道，总分为100分，现从中抽出5份试卷进行分析，如下表所示：
试卷 A B C D E 正确个数 19 18 17 14 10 错误个数 1 2 3 6 10 得分 94 88 82 64 40 （1）某同学得70分，他答对了多少道题？
（2）有一同学H说他得86分，另一个同学G说他得72分，谁在说谎？
六．列一元一次方程解决储蓄问题
解决储蓄问题，首先要弄清以下几个概念：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金与利息的和叫本息和，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率。根据上述定义，每个期数内，
利息?利率，所以利息=本金×利率×期数，本金这个公式是解决储蓄问题时常用的等量关系式。
例7：某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元，甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获利息共9500元，求甲、乙两种存款分别为多少元。
七．列一元一次方程解决等积变形问题
解等积变形问题的关键是准确牢记有关图形的体积、面积、周长公式。抓住两个等量关系：①形变体积不变；②有时形变引起体积变化，但质量不变。
例8：要锻造一个底面直径为70mm，高为45mm的圆柱形零件毛坯，需要截取底面直径为50mm的圆柱钢材多长？（不算加工余料）
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