二次函数与等腰三角形

专题5: 二次函数与等腰三角形综合题

一、知识准备：

抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形；

解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

例1．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

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练习1． 如图，已知抛物线y =ax +bx +c经过A（-1，O）、B(3，0)、C(O，3)三 点，直线x是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式；

(2)在直线x轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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2、如图，已知抛物线y=﹣x+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图，已知抛物线y??224B两点，与y轴交于点C，x?x?2的图象与x轴交于A，

33抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运

动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q． （1）求点B和点C的坐标；

（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以的等腰三角形？若存在， ．BQ．．为一腰．．．求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．